Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)=f\left( x-1 \right)+2$ như sau:
Giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left( -\left| \sqrt{3}\sin x-\cos x \right|+2 \right)+2\cos 2x+4\sin x-1$ là:
A. $-9$.
B. $-2$.
C. $2$.
D. $4$.
A. $-9$.
B. $-2$.
C. $2$.
D. $4$.
Từ bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ ta có bảng biến thiên của hàm số $f\left( x \right)$ như sau:
Đặt $t=-\left| \sqrt{3}\sin x-\cos x \right|+2=-2\left| \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x \right|+2=-2\left| \sin \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right) \right|+2\Rightarrow t\in \left[ 0;2 \right]$
Từ bảng biến thiên ta có được $f\left( t \right)\le f\left( 2 \right),\forall t\in \left[ 0;2 \right]$
$f\left( t \right)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=2$ hay $\sin \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)=0\Leftrightarrow x-\dfrac{\pi }{6}=k\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi $
$2\cos 2x+4\sin x-1=-4{{\sin }^{2}}x+4\sin x+1=-{{\left( 2\sin x-1 \right)}^{2}}+2\le 2$
Đẳng thức xảy ra khi $\sin x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\
x=\dfrac{5\pi }{6}+k2\pi \\
\end{matrix} \right.$.
Ta có $y=f\left( -\left| \sqrt{3}\sin x-\cos x \right|+2 \right)+2\cos 2x+4\sin x-1\le f\left( 2 \right)+2=4$.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi $x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi $.
Đặt $t=-\left| \sqrt{3}\sin x-\cos x \right|+2=-2\left| \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x \right|+2=-2\left| \sin \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right) \right|+2\Rightarrow t\in \left[ 0;2 \right]$
Từ bảng biến thiên ta có được $f\left( t \right)\le f\left( 2 \right),\forall t\in \left[ 0;2 \right]$
$f\left( t \right)$ đạt giá trị lớn nhất tại $t=2$ hay $\sin \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)=0\Leftrightarrow x-\dfrac{\pi }{6}=k\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi $
$2\cos 2x+4\sin x-1=-4{{\sin }^{2}}x+4\sin x+1=-{{\left( 2\sin x-1 \right)}^{2}}+2\le 2$
Đẳng thức xảy ra khi $\sin x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\
x=\dfrac{5\pi }{6}+k2\pi \\
\end{matrix} \right.$.
Ta có $y=f\left( -\left| \sqrt{3}\sin x-\cos x \right|+2 \right)+2\cos 2x+4\sin x-1\le f\left( 2 \right)+2=4$.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi $x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi $.
Đáp án D.