Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left( \sqrt{x-1}+2 \right)=m$...

Phương pháp:
- Đặt $t=\sqrt{x-1}+2\left( t\ge 2 \right).$
- Từ BBT suy ra $f'\left( x \right),$ tính $f\left( x \right)=\int{f'\left( x \right)dx,}$ sử dụng $f\left( 1 \right)=4,f\left( 3 \right)=-2.$
- Tính $f\left( 2 \right)$ với hàm $f\left( x \right)$ vừa tìm được, sau đó tìm điều kiện của $m$ để phương trình có 2 nghiệm.
Cách giải:
Đặt $t=\sqrt{x-1}+2\left( t\ge 2 \right).$ Khi đó ta có $f\left( t \right)=m$ có 2 nghiệm (ứng với mỗi nghiệm $t$ cho ta một nghiệm $x$ tương ứng).
Từ BBT ta thấy hàm số có 2 điểm cực trị $x=1,x=3$ nên $f'\left( x \right)=a\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)=a\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right).$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\int{f'\left( x \right)dx}=\int{a\left( {{x}^{2}}-4x+3 \right)dx}=a\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x \right)+C.$
Có $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=4 \\
& f\left( 3 \right)=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{4}{3}a+C=4 \\
& C=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& C=-2 \\
& a=\dfrac{9}{2} \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{9}{2}\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x \right)-2=\dfrac{3}{2}{{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+\dfrac{27}{2}x-2$
$\Rightarrow f\left( 2 \right)=1.$
Dựa vào BBT ta thấy phương trình $f\left( x \right)=m$ có 2 nghiệm $\Leftrightarrow -2<m\le 1.$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -1;0;1 \right\}.$
Vậy có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn.