Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến như sau: Số nghiệm...

Đặt $t=\cos x(-1\le t\le 1),\text{ u}=t^2-t$.
Lập bảng biến thiên của hàm số $g\left(t\right)=t^2-t,\text{ t}\in [-1;1]$.

Ta có phương trình $f\left(u\right)={\displaystyle \frac{1}{5}}$ (1). Dựa vào bảng biến thiên đề bài cho thì (1) có 4 nghiệm là
$[\begin{array}{rl}& u=a\in (-\mathrm{\infty };-{\displaystyle \frac{1}{4}})\\ & u=b\in (-{\displaystyle \frac{1}{4}};0)\\ & u=c\in (0;2)\\ & u=d\in (2;+\mathrm{\infty })\end{array}$.
Với $u=a$ thì phương trình vô nghiệm.
Với $u=b$ thì phương trình có hai nghiệm $t=t_1\in (0;{\displaystyle \frac{1}{2}});t=t_2\in ({\displaystyle \frac{1}{2}};1)$.
Với $u=c$ thì phương trình có một nghiệm $t=t_3\in (-1;0)$.

Với $u=d$ thì phương trình vô nghiệm.
Với $t=t_1$ thì phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc $[-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}],[{\displaystyle \frac{\pi }{3}};{\displaystyle \frac{\pi }{2}}],[{\displaystyle \frac{3\pi }{2}};{\displaystyle \frac{11\pi }{6}}]$, $[{\displaystyle \frac{7\pi }{3}};{\displaystyle \frac{5\pi }{2}}]$.
Với $t=t_2$ thì phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc $[-{\displaystyle \frac{\pi }{3}};0],[0;{\displaystyle \frac{\pi }{3}}],[{\displaystyle \frac{11\pi }{6}};2\pi ],\left[2\pi {\displaystyle \frac{7\pi }{3}}\right]$.
Với $t=t_3$ thì phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thuộc $[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi ],[\pi ;{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}]$.
Vậy phương trình ban đầu có tất cả 10 nghiệm.