Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến như sau: Số nghiệm...

Đặt $t=\cos x\left( -1\le t\le 1 \right),\text{ u}={{t}^{2}}-t$.
Lập bảng biến thiên của hàm số $g\left( t \right)={{t}^{2}}-t,\text{ t}\in \left[ -1;1 \right]$.

Ta có phương trình $f\left( u \right)=\dfrac{1}{5}$ (1). Dựa vào bảng biến thiên đề bài cho thì (1) có 4 nghiệm là
$\left[ \begin{aligned}
& u=a\in \left( -\infty ;-\dfrac{1}{4} \right) \\
& u=b\in \left( -\dfrac{1}{4};0 \right) \\
& u=c\in \left( 0;2 \right) \\
& u=d\in \left( 2;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Với $u=a$ thì phương trình vô nghiệm.
Với $u=b$ thì phương trình có hai nghiệm $t={{t}_{1}}\in \left( 0;\dfrac{1}{2} \right);t={{t}_{2}}\in \left( \dfrac{1}{2};1 \right)$.
Với $u=c$ thì phương trình có một nghiệm $t={{t}_{3}}\in \left( -1;0 \right)$.

Với $u=d$ thì phương trình vô nghiệm.
Với $t={{t}_{1}}$ thì phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc $\left[ -\dfrac{\pi }{2};-\dfrac{\pi }{3} \right],\left[ \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{2} \right],\left[ \dfrac{3\pi }{2};\dfrac{11\pi }{6} \right]$, $\left[ \dfrac{7\pi }{3};\dfrac{5\pi }{2} \right]$.
Với $t={{t}_{2}}$ thì phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc $\left[ -\dfrac{\pi }{3};0 \right],\left[ 0;\dfrac{\pi }{3} \right],\left[ \dfrac{11\pi }{6};2\pi \right],\left[ 2\pi \dfrac{7\pi }{3} \right]$.
Với $t={{t}_{3}}$ thì phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[ \dfrac{\pi }{2};\pi \right],\left[ \pi ;\dfrac{3\pi }{2} \right]$.
Vậy phương trình ban đầu có tất cả 10 nghiệm.