Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ biết $f\left( 0 \right)=\dfrac{1}{2}$ và $f'\left( x \right)=x{{e}^{{{x}^{2}}}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}.$ Khi...

Phương pháp:
- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần: $\int\limits_{a}^{b}{udv}=uv\left| \begin{aligned}
& b \\
& a \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{a}^{b}{vdu}.$
- Sử dụng phương pháp đổi biến sau đó tiếp tục sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
Cách giải:
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u=f\left( x \right) \\
& dv=xdx \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=f'\left( x \right)dx \\
& v=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{2} \\
\end{aligned} \right..$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right)dx}=\dfrac{{{x}^{2}}-1}{2}f\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{x}^{2}}-1}{2}f'\left( x \right)dx}$
$=\dfrac{1}{2}f\left( 0 \right)-\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}-1 \right).x{{e}^{{{x}^{2}}}}dx}$
$=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}I=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}I$
Đặt $t={{x}^{2}}\Rightarrow dt=2xdx.$
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=1\Rightarrow t=1 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó ta có:
$I=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{\left( t-1 \right){{e}^{t}}dt}=\dfrac{1}{2}\left( \int\limits_{0}^{1}{t{{e}^{t}}dt}-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{t}}dt} \right)$
$=\dfrac{1}{2}\left( t.{{e}^{t}}\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{t}}dt}-\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{t}}dt} \right)$
$=\dfrac{1}{2}\left( e-2{{e}^{t}}\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right. \right)=\dfrac{1}{2}\left( e-2e+2 \right)=\dfrac{2-e}{2}$
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{xf\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}I=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2-e}{4}=\dfrac{e-1}{4}.$