Cho hàm số $y=f\left(x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+dx+e$ với $(a, b, c, d, e\in \mathbb{R})$. Biết hàm số $y={f}'\left(x \right)$ có...

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f'\left( x \right)$, suy ra hàm số $y=f'\left( x \right)$ là hàm số bậc 3 qua 0 không đổi dấu và đi qua 3 đổi dấu từ + sang -. Mặt khác $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f'\left( x \right)=-\infty $ nên $k<0$.
Do đó, hàm số $y=f'\left( x \right)$ có dạng $f'\left( x \right)=k.{{x}^{2}}.\left( x-3 \right)$.
Vì $f'\left( 2 \right)=1$ nên $k=-\dfrac{1}{4}$. Suy ra $f'\left( x \right)=-\dfrac{1}{4}{{x}^{3}}+\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}\Rightarrow f\left( x \right)=-\dfrac{1}{16}{{x}^{4}}+\dfrac{1}{4}{{x}^{3}}+e$
Xét phương trình
$\begin{aligned}
& f\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)=e \\
& \Leftrightarrow -\dfrac{1}{16}{{\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)}^{4}}+\dfrac{1}{4}{{\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)}^{3}}=0 \\
& \Leftrightarrow {{\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)}^{3}}\left( -{{x}^{2}}+2x+m-4 \right)=0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -{{x}^{2}}+2x+m=0 \left( 1 \right) \\
& -{{x}^{2}}+2x+m-4=0 \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Phương trình $f\left( -{{x}^{2}}+2x+m \right)=e$ có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$ đều có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1+m>0 \\
& 1+m-4>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m>3$.
Mặt khác, $m$ là số nguyên trên $\left[ -5;5 \right]$ nên $m\in \left\{ 4;5 \right\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thoả yêu cầu bài toán.