Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c$ có đồ thị $\left( C \right),$ Biết $f\left( -1 \right)=0$. Tiếp tuyến $d$ tại điểm có hoành độ $x=-1$ của $\left( C \right)$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2, Gọi ${{S}_{1}};{{S}_{2}}$ là diện tích hình phẳng (phần gạch chéo trong hình vẽ). Tính ${{S}_{2}}$, biết ${{S}_{1}}=\dfrac{401}{2022}.$
A. $\dfrac{12431}{2022}$.
B. $\dfrac{5614}{1011}$.
C. $\dfrac{2005}{2022}$.
D. $\dfrac{2807}{1011}$.
B. $\dfrac{5614}{1011}$.
C. $\dfrac{2005}{2022}$.
D. $\dfrac{2807}{1011}$.
Từ đồ thị $\left( C \right)$ nhận thấy $a>0;b<0;c>0$.
Ta có: $f(-1)=0$ suy ra: $a+b+c=0$ (1); gọi $A\left( -1;0 \right)$
Phương trình tiếp tuyến tại $A\left( -1;0 \right)$ là $\left( d \right):y=y'\left( 1 \right)\left( x+1 \right)=\left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right)$
Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến $\left( d \right)$ và đồ thị $\left( C \right)$ : $\left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( * \right)$
Mà $x=0,x=2$ là nghiệm của (*) suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& -4a-2b=c \\
& -12a-6b=16a+4b+c \\
\end{aligned} \right.$ (2).
Từ (1) và (2) ta có : $\left\{ \begin{aligned}
& c=-a-b \\
& -4a-2b=-a-b \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
c=-a-b \\
b=-3a \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \right.\left\{ \begin{matrix}
c=2a \\
b=-3a \\
\end{matrix} \right.$
Ta có : ${{S}_{1}}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c-\left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right) \right)}dx=\int\limits_{-1}^{0}{\left( a{{x}^{4}}-3a{{x}^{2}}+2a-2a\left( x+1 \right) \right)}dx$
$\Rightarrow {{S}_{1}}=a\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2x \right)}dx=\dfrac{a}{5}=\dfrac{401}{2022}\Rightarrow a=\dfrac{2005}{2022}.$
$\Rightarrow {{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ \left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right)-\left( a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c \right) \right]}dx=a\int\limits_{0}^{2}{\left( -{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2x \right)}dx=\dfrac{28a}{5}=\dfrac{5614}{1011}.$
Vậy ${{S}_{2}}=\dfrac{5614}{1011}.$
Ta có: $f(-1)=0$ suy ra: $a+b+c=0$ (1); gọi $A\left( -1;0 \right)$
Phương trình tiếp tuyến tại $A\left( -1;0 \right)$ là $\left( d \right):y=y'\left( 1 \right)\left( x+1 \right)=\left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right)$
Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến $\left( d \right)$ và đồ thị $\left( C \right)$ : $\left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right)=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\left( * \right)$
Mà $x=0,x=2$ là nghiệm của (*) suy ra $\left\{ \begin{aligned}
& -4a-2b=c \\
& -12a-6b=16a+4b+c \\
\end{aligned} \right.$ (2).
Từ (1) và (2) ta có : $\left\{ \begin{aligned}
& c=-a-b \\
& -4a-2b=-a-b \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
c=-a-b \\
b=-3a \\
\end{matrix}\Leftrightarrow \right.\left\{ \begin{matrix}
c=2a \\
b=-3a \\
\end{matrix} \right.$
Ta có : ${{S}_{1}}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c-\left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right) \right)}dx=\int\limits_{-1}^{0}{\left( a{{x}^{4}}-3a{{x}^{2}}+2a-2a\left( x+1 \right) \right)}dx$
$\Rightarrow {{S}_{1}}=a\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2x \right)}dx=\dfrac{a}{5}=\dfrac{401}{2022}\Rightarrow a=\dfrac{2005}{2022}.$
$\Rightarrow {{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ \left( -4a-2b \right)\left( x+1 \right)-\left( a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c \right) \right]}dx=a\int\limits_{0}^{2}{\left( -{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+2x \right)}dx=\dfrac{28a}{5}=\dfrac{5614}{1011}.$
Vậy ${{S}_{2}}=\dfrac{5614}{1011}.$
Đáp án B.
