Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d...

Cách 1: Từ đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ suy ra ${f}'\left( x \right)={{x}^{2}}+1$
Vậy $f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)=\int\limits_{1}^{2}{{f}'\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)dx}=\left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}+x \right)\left| \begin{aligned}
& ^{2} \\
& _{1} \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{10}{3}$
Cách 2: Ta có ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
Đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ đi qua các điểm $M\left( -1; 2 \right), N\left( 0; 1 \right), P\left( 1; 2 \right)$ nên
$\left\{ \begin{aligned}
& 3a-2b+c=2 \\
& 3a+2b+c=2 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=\dfrac{1}{3} \\
& b=0 \\
& c=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+x+d$
Do đồ thị (C) đi qua $A\left( 1; 2 \right)$ nên $d=\dfrac{2}{3}\Rightarrow y=f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+x+\dfrac{2}{3}$
Vậy $f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)=\dfrac{10}{3}$