Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ và $y=g\left( x \right)=m{{x}^{2}}+nx-2c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng diện tích phần hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bằng $\dfrac{37}{6}$. Hàm số $y=g\left( x \right)$ có giá trị cực tiểu bằng bao nhiêu?
A. $-\dfrac{22}{9}.$
B. $-\dfrac{12}{5}.$
C. $-\dfrac{7}{3}.$
D. $-\dfrac{58}{25}.$
Ta dễ dàng nhận ra $g\left( x \right)=-2f'\left( x \right)=-6a{{x}^{2}}-4bx-2c$ và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ -2 nên ta suy ra c=1 và chú ý ta cũng có d=0
Vì $y=f\left( x \right)$ đi qua điểm $\left( 2;2 \right)$
nên $8a+4b+2=2$ hay b=-2a
Với $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}-2a{{x}^{2}}+x$ và $g\left( x \right)=-6a{{x}^{2}}+8ax-2$ ta có:
$\dfrac{37}{6}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx}$
$\Leftrightarrow \dfrac{37}{6}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ a{{x}^{3}}+4a{{x}^{2}}+\left( 1-8a \right)x+2 \right]dx}=4a+\dfrac{32}{3}a+2\left( 1-8a \right)+4\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{8}\Rightarrow b=\dfrac{1}{4}$
Do vậy ta tìm được $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{8}{{x}^{3}}+\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}+x$ và $g\left( x \right)=\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}-x-2$ suy ra giá trị cực tiểu là $-\dfrac{7}{3}.$
A. $-\dfrac{22}{9}.$
B. $-\dfrac{12}{5}.$
C. $-\dfrac{7}{3}.$
D. $-\dfrac{58}{25}.$
Ta dễ dàng nhận ra $g\left( x \right)=-2f'\left( x \right)=-6a{{x}^{2}}-4bx-2c$ và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ -2 nên ta suy ra c=1 và chú ý ta cũng có d=0
Vì $y=f\left( x \right)$ đi qua điểm $\left( 2;2 \right)$
nên $8a+4b+2=2$ hay b=-2a
Với $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}-2a{{x}^{2}}+x$ và $g\left( x \right)=-6a{{x}^{2}}+8ax-2$ ta có:
$\dfrac{37}{6}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx}$
$\Leftrightarrow \dfrac{37}{6}=\int\limits_{0}^{2}{\left[ a{{x}^{3}}+4a{{x}^{2}}+\left( 1-8a \right)x+2 \right]dx}=4a+\dfrac{32}{3}a+2\left( 1-8a \right)+4\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{8}\Rightarrow b=\dfrac{1}{4}$
Do vậy ta tìm được $f\left( x \right)=-\dfrac{1}{8}{{x}^{3}}+\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}+x$ và $g\left( x \right)=\dfrac{3}{4}{{x}^{2}}-x-2$ suy ra giá trị cực tiểu là $-\dfrac{7}{3}.$
Đáp án C.