Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( a,b,c,d\in \mathbb{R} \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A. $y=-{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+2$.
B. $y=-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x+2$.
C. $y={{x}^{3}}-2x-1$.
D. $y=-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x-2$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$.
Do đó đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ là parabol có bề lõm quay xuống dưới nên ta có $3a<0\Leftrightarrow a<0$, loại đáp án C.
Ta thấy đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bé hơn 0 nên suy ra $c<0$ nên loại đáp án B.
Mặt khác hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ dương nên ta có $-\dfrac{b}{3a}>0\Rightarrow b>0$.
Mà đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục $Ox$ nên suy ra phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ vô nghiệm, suy ra
B. $y=-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x+2$.
C. $y={{x}^{3}}-2x-1$.
D. $y=-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x-2$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$.
Do đó đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ là parabol có bề lõm quay xuống dưới nên ta có $3a<0\Leftrightarrow a<0$, loại đáp án C.
Ta thấy đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bé hơn 0 nên suy ra $c<0$ nên loại đáp án B.
Mặt khác hoành độ đỉnh của đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ dương nên ta có $-\dfrac{b}{3a}>0\Rightarrow b>0$.
Mà đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục $Ox$ nên suy ra phương trình ${f}'\left( x \right)=0$ vô nghiệm, suy ra
${{\Delta }_{{f}'\left( x \right)}}<0\Leftrightarrow {{b}^{2}}-3ac<0\Leftrightarrow {{b}^{2}}<3ac\left( * \right)$.
Khi đó thay các hệ số $a,b,c$ ở hai đáp án A và D vào (*) ta có đáp án A thỏa mãn.Đáp án A.