Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( a\ne 0 \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( 2 \right)=1$. Đồ thị hàm số $f'\left( x \right)$ được cho bởi hình bên.
Tìm giá trị cực tiểu ${{y}_{CT}}$ của hàm số $f\left( x \right)$.
A. ${{y}_{CT}}=-3$
B. ${{y}_{CT}}=1$
C. ${{y}_{CT}}=-1$
D. ${{y}_{CT}}=-2$
Tìm giá trị cực tiểu ${{y}_{CT}}$ của hàm số $f\left( x \right)$.
A. ${{y}_{CT}}=-3$
B. ${{y}_{CT}}=1$
C. ${{y}_{CT}}=-1$
D. ${{y}_{CT}}=-2$
Vì đồ thị hàm $f'\left( x \right)$ cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x=-1$ và $x=1$ nên $f'\left( x \right)=k\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)$ với $k$ là số thực khác 0.
Vì đồ thị hàm $f'\left( x \right)$ đi qua điểm $\left( 0;-3 \right)$ nên ta có $-3=-k\Leftrightarrow k=3$. Suy ra $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3$.
Mà $f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$ nên ta có được $a=1,\ b=0,\ c=-3$.
Từ đó $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+d$. Mặt khác $f\left( 2 \right)=1$ nên $d=-1$.
Suy ra $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x-1$.
Ta có: $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Vậy ${{y}_{CT}}=-3$.
Vì đồ thị hàm $f'\left( x \right)$ đi qua điểm $\left( 0;-3 \right)$ nên ta có $-3=-k\Leftrightarrow k=3$. Suy ra $f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3$.
Mà $f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$ nên ta có được $a=1,\ b=0,\ c=-3$.
Từ đó $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x+d$. Mặt khác $f\left( 2 \right)=1$ nên $d=-1$.
Suy ra $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x-1$.
Ta có: $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Vậy ${{y}_{CT}}=-3$.
Đáp án A.