Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ có đồ...

Phương pháp:
Số nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ và đường thẳng $y=m$ có tính chất song song với trục hoành.
Cách giải:
$f\left( f\left( \sin x \right) \right)-2=0\Leftrightarrow f\left( f\left( \sin x \right) \right)=2$
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy
$f\left( f\left( \sin x \right) \right)=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( \sin x \right)=a\left( a\in \left( -2;-1 \right) \right) \\
& f\left( \sin x \right)=b\left( b\in \left( -1;0 \right) \right) \\
& f\left( \sin x \right)=c\left( c\in \left( 1;2 \right) \right) \\
\end{aligned} \right.$
$+)f\left( \sin x \right)=a$ với $a\in \left( -2;-1 \right)\Rightarrow \sin x={{a}_{1}}\left( {{a}_{1}}<-2 \right)$, phương trình vô nghiệm.
$+f\left( \sin x \right)=b$ với $b\in \left( -1;0 \right)\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sin x={{b}_{1}}\in \left( -2;-1 \right)\Rightarrow Vo nghiem \\
& \sin x={{b}_{2}}\in \left( 0;1 \right) \\
& \sin x={{b}_{3}}\in \left( 1;2 \right)\Rightarrow Vo nghiem \\
\end{aligned} \right.$
$\sin x={{b}_{2}}\in \left( 0;1 \right)$, biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta thấy phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{2};\pi \right]$
$+ f\left( \sin x \right)=c$ với $c\in \left( 1;2 \right)\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sin x={{c}_{1}}\in \left( -2;-2 \right)\Rightarrow Vo nghiem \\
& \sin x={{c}_{2}}\in \left( -1;0 \right) \\
& \sin x={{c}_{3}}\in \left( 1;2 \right)\Rightarrow Vo nghiem \\
\end{aligned} \right.$
$\sin x={{c}_{2}}\in \left( -1;0 \right),$ biểu diễn trên đường tròn lượng giác ta thấy phương trình có 1 nghiệm thuộc đoạn
$\left[ -\dfrac{\pi }{2};\pi \right]$.
Vậy phương trình có tất cả 3 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.