Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị như hình vẽ. Kí hiệu $\left[ X \right]$ là phần nguyên của X. Số nghiệm của phương trình $f\left( \underbrace{f\left( f\left( f...\left( f\left( x \right) \right) \right) \right)}_{\text{2020 ln f}} \right)=0$ trên $\left[ 1;2 \right]$ là:
A. $\left[ \dfrac{{{2}^{2022}}}{3}+\dfrac{1}{2} \right]+1.$
B. $\left[ \dfrac{{{2}^{2021}}}{3}-\dfrac{1}{2} \right]+1.$
C. $\left[ \dfrac{{{2}^{2021}}}{3}+\dfrac{3}{2} \right]+1.$
D. $\left[ \dfrac{{{2}^{2021}}}{3}+\dfrac{5}{2} \right]+1.$
A. $\left[ \dfrac{{{2}^{2022}}}{3}+\dfrac{1}{2} \right]+1.$
B. $\left[ \dfrac{{{2}^{2021}}}{3}-\dfrac{1}{2} \right]+1.$
C. $\left[ \dfrac{{{2}^{2021}}}{3}+\dfrac{3}{2} \right]+1.$
D. $\left[ \dfrac{{{2}^{2021}}}{3}+\dfrac{5}{2} \right]+1.$
Xét $y=f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$.
Cho $x=0\Rightarrow c=2$. Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng $x=0\Rightarrow b=0$.
Đồ thị hàm số qua $\left( \sqrt{3};-1 \right)\Rightarrow -1=3a+2\Leftrightarrow a=-1$. Do đó $f\left( x \right)=2-{{x}^{2}}$.
Đặt $x=2\cos t$. Vì $x\in \left[ 1;2 \right]$ nên $t\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{3} \right]$. Khi đó:
$\begin{aligned}
& 2-{{x}^{2}}=2-{{\left( 2\cos t \right)}^{2}}=2-4{{\cos }^{2}}t=-2\cos 2t \\
& f\left( f\left( x \right) \right)=2-{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}=2-{{\left( -2\cos 2t \right)}^{2}}=2-4{{\cos }^{2}}2t=-2\cos 4t=-2\cos \left( {{2}^{2}}t \right) \\
& f\left( f\left( f\left( x \right) \right) \right)=-2\cos \left( {{2}^{3}}t \right). \\
& ............. \\
\end{aligned}$
$f\left( \underbrace{f\left( f\left( f...\left( f\left( x \right) \right) \right) \right)}_{\text{2020 ln f}} \right)=-2\cos \left( {{2}^{2021}}t \right).$
Khi đó $f\left( \underbrace{f\left( f\left( f...\left( f\left( x \right) \right) \right) \right)}_{\text{2020 ln f}} \right)=0\Leftrightarrow -2\cos \left( {{2}^{2021}}t \right)=0\Leftrightarrow \cos \left( {{2}^{2021}}t \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{2021}}t=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow t=\dfrac{2k+1}{{{2}^{2022}}}\pi $.
Vì $t\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{3} \right]\Rightarrow 0\le \dfrac{2k+1}{{{2}^{2022}}}\pi \le \dfrac{\pi }{3}\Rightarrow -\dfrac{1}{2}\le k\le \dfrac{{{2}^{2021}}}{3}-\dfrac{1}{2}$.
Do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow 0\le k\le \dfrac{{{2}^{2021}}}{3}-\dfrac{1}{2}$
Vậy phương trình $f\left[ \underbrace{f\left( f\left( f...\left( f\left( x \right) \right) \right) \right)}_{\text{2020 ln f}} \right]=0$ có $\left[ \dfrac{{{2}^{2021}}}{3}-\dfrac{1}{2} \right]+1$ nghiệm.
Cho $x=0\Rightarrow c=2$. Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng $x=0\Rightarrow b=0$.
Đồ thị hàm số qua $\left( \sqrt{3};-1 \right)\Rightarrow -1=3a+2\Leftrightarrow a=-1$. Do đó $f\left( x \right)=2-{{x}^{2}}$.
Đặt $x=2\cos t$. Vì $x\in \left[ 1;2 \right]$ nên $t\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{3} \right]$. Khi đó:
$\begin{aligned}
& 2-{{x}^{2}}=2-{{\left( 2\cos t \right)}^{2}}=2-4{{\cos }^{2}}t=-2\cos 2t \\
& f\left( f\left( x \right) \right)=2-{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}=2-{{\left( -2\cos 2t \right)}^{2}}=2-4{{\cos }^{2}}2t=-2\cos 4t=-2\cos \left( {{2}^{2}}t \right) \\
& f\left( f\left( f\left( x \right) \right) \right)=-2\cos \left( {{2}^{3}}t \right). \\
& ............. \\
\end{aligned}$
$f\left( \underbrace{f\left( f\left( f...\left( f\left( x \right) \right) \right) \right)}_{\text{2020 ln f}} \right)=-2\cos \left( {{2}^{2021}}t \right).$
Khi đó $f\left( \underbrace{f\left( f\left( f...\left( f\left( x \right) \right) \right) \right)}_{\text{2020 ln f}} \right)=0\Leftrightarrow -2\cos \left( {{2}^{2021}}t \right)=0\Leftrightarrow \cos \left( {{2}^{2021}}t \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{2021}}t=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow t=\dfrac{2k+1}{{{2}^{2022}}}\pi $.
Vì $t\in \left[ 0;\dfrac{\pi }{3} \right]\Rightarrow 0\le \dfrac{2k+1}{{{2}^{2022}}}\pi \le \dfrac{\pi }{3}\Rightarrow -\dfrac{1}{2}\le k\le \dfrac{{{2}^{2021}}}{3}-\dfrac{1}{2}$.
Do $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow 0\le k\le \dfrac{{{2}^{2021}}}{3}-\dfrac{1}{2}$
Vậy phương trình $f\left[ \underbrace{f\left( f\left( f...\left( f\left( x \right) \right) \right) \right)}_{\text{2020 ln f}} \right]=0$ có $\left[ \dfrac{{{2}^{2021}}}{3}-\dfrac{1}{2} \right]+1$ nghiệm.
Đáp án B.