Cho hàm số $y=f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị $\left(...

Cách giải:
Từ đồ thị $\left( C \right)$ suy ra đồ thị $\left( C' \right)$ của hàm số $y=f\left( \left| x \right| \right)$ gồm 2 phần:
+) Phần 1 giữ nguyên phần $\left( C \right)$ bên phải trục $Oy$
+) Phần 2 lấy đối xứng phần 1 qua trục $Oy$
Ta có ${{f}^{2}}\left( \left| x \right| \right)+\left( m-2 \right)f\left( \left| x \right| \right)+m-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( \left| x \right| \right)=-1\text{ }\left( 1 \right) \\
& f\left( \left| x \right| \right)=3-m\text{ }\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ đồ thị $\left( C' \right)$ suy ra phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình $\left( 2 \right)$ có 4 nghiệm phân biệt khác 2 nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ nên $-1<3-m<3\Leftrightarrow 0<m<4.$
Vậy có 3 giá trị $m$ thỏa mãn.