Cho hàm số $y = f (x) > 0$ xác định, có đạo hàm trên đoạn...

The Knowledge · 18/2/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = f (x) > 0

xác định, có đạo hàm trên đoạn

[0; 1]

và thỏa mãn

g (x) = 1 + 2018 \int_{0}^{x} f (t) d t, g (x) = f^{2} (x)

. Tính

\int_{0}^{1} \sqrt{g (x)} d x

.
A.

\frac{1011}{2}

.
B.

\frac{1009}{2}

.
C.

\frac{2019}{2}

.
D. 505.

Ta có

g (x) = 1 + 2018 \int_{0}^{x} f (t) d t \Rightarrow g^{'} (x) = 2018 f (x) = 2018 \sqrt{g (x)}

Suy ra

\frac{g^{'} (x)}{\sqrt{g (x)}} = 2018 \Leftrightarrow \int_{0}^{t} \frac{g^{'} (x)}{\sqrt{g (x)}} d x = 2018 \int_{0}^{t} d x \Rightarrow 2 (\sqrt{g (t)} - 1) = 2018 t

\Rightarrow \sqrt{g (t)} = 1009 t + 1 \Rightarrow \int_{0}^{1} \sqrt{g (t)} d t = \frac{1011}{2}

.

Đáp án A.

Cho hàm số y=f(x)>0 xác định, có đạo hàm trên đoạn...