Cho hàm số $y=f(3-2x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ...

Đặt $t=3-2x$. Ta khôi phục bảng biến thiên của hàm số $f\left(x\right)$ như sau:
Vẽ lại bảng biến thiên của hàm số $f\left(x\right)$
Ta có: $u=x^2-6x+2={(x-3)}^2-7\ge -7\Rightarrow u\in [-7;+\mathrm{\infty }]$.
Từ bảng biến thiên của hàm số $f\left(x\right)$ suy ra $f\left(u\right)\in (-7;12]\Rightarrow 2f\left(u\right)\in (-14;24]$.
Suy ra $-14-m<2f\left(u\right)-m\le 24-m$.
Đặt $g\left(u\right)=|2f\left(u\right)-m|$. Để $g\left(u\right)$ có giá trị lớn nhất thì $\{\begin{array}{rl}& 24-m>0\\ & |m+14|\le 24-m\end{array}\iff m\le 5$
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;4;5\}$. Vậy có $5$ giá trị của $m$ thỏa mãn.