Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x+m}{x-1}$ ( $m$ là tham số thực). Gọi ${{m}_{0}}$ là giá trị của $m$ thỏa mãn $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} y=3$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. ${{m}_{0}}<-1.$
B. ${{m}_{0}}>4.$
C. $1\le {{m}_{0}}<3.$
D. $3<{{m}_{0}}\le 4.$
A. ${{m}_{0}}<-1.$
B. ${{m}_{0}}>4.$
C. $1\le {{m}_{0}}<3.$
D. $3<{{m}_{0}}\le 4.$
Ta có: ${y}'=\dfrac{-m-1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$. Với $x\ne 1.$
+ Nếu $-m-1>0\Leftrightarrow m<-1$
$\Rightarrow {y}'>0\Rightarrow $ hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ 2;4 \right]$ $\Rightarrow $ $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 2 \right)=m+2$.
Theo giả thiết: $m+2=3\Leftrightarrow m=1$ ( loại).
+ Nếu $-m-1<0\Leftrightarrow m>-1$
$\Rightarrow {y}'<0\Rightarrow $ hàm số đã cho nghịch biến trên $\left[ 2;4 \right]$ $\Rightarrow $ $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 4 \right)=\dfrac{4+m}{3}$.
Theo giả thiết: $\dfrac{m+4}{3}=3\Leftrightarrow m=5$.
Vậy ${{m}_{0}}=5.$.
+ Nếu $-m-1>0\Leftrightarrow m<-1$
$\Rightarrow {y}'>0\Rightarrow $ hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ 2;4 \right]$ $\Rightarrow $ $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 2 \right)=m+2$.
Theo giả thiết: $m+2=3\Leftrightarrow m=1$ ( loại).
+ Nếu $-m-1<0\Leftrightarrow m>-1$
$\Rightarrow {y}'<0\Rightarrow $ hàm số đã cho nghịch biến trên $\left[ 2;4 \right]$ $\Rightarrow $ $\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 4 \right)=\dfrac{4+m}{3}$.
Theo giả thiết: $\dfrac{m+4}{3}=3\Leftrightarrow m=5$.
Vậy ${{m}_{0}}=5.$.
Đáp án B.