Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x-3}{x+1}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\in \left( C \right).$ Tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại A tạo với hai đường tiệm cận của $\left( C \right)$ một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất là bao nhiêu?
A. $2+2\sqrt{2}.$
B. $4-2\sqrt{2}.$
C. $3-\sqrt{2}.$
D. $4+2\sqrt{2}.$
A. $2+2\sqrt{2}.$
B. $4-2\sqrt{2}.$
C. $3-\sqrt{2}.$
D. $4+2\sqrt{2}.$
Đồ thị hàm số $y=\dfrac{x-3}{x+1}$ có tâm đối xứng $I\left( -1;1 \right),$ TCĐ : $x=-1,$ TCN : $y=3.$
Gọi $A\left( a;\dfrac{a-3}{a+1} \right)\in \left( C \right)\Rightarrow {y}'\left( a \right)=\dfrac{4}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}$ nên phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại A là
$y-\dfrac{a-3}{a+1}=\dfrac{4}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)\Leftrightarrow y=\dfrac{4}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}.x+\dfrac{{{a}^{2}}-6a-3}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}\left( d \right).$
+) $\left( d \right)$ cắt tiệm cận đứng x=−1 tại $M\left( -1;\dfrac{a-7}{a+1} \right)\Rightarrow IM=\dfrac{8}{\left| a+1 \right|}.$
+) $\left( d \right)$ cắt tiệm cận ngang y=1 tại $N\left( 2a+1;1 \right)\Rightarrow IN=2\left| a+1 \right|.$
Đường thẳng $\left( d \right)$ tạo với hai đường tiệm cận tam giác IMN vuông tại $I\Rightarrow {{S}_{\!\!\Delta\!\!IMN}}=8.$
Bán kính đường tròn nội tiếp $\!\!\Delta\!\!IMN$ là $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{2\times {{S}_{\!\!\Delta\!\!IMN}}}{IM+IN+MN}\left( 1 \right).$
Mà $IM+IN+MN=IM+IN+\sqrt{I{{M}^{2}}+I{{N}^{2}}}\ge 2\sqrt{IM.IN}+\sqrt{2.IM.IN}=8+4\sqrt{2}\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra $r\le \dfrac{2.8}{8+4\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}.$ Vậy ${{r}_{\max }}=4-2\sqrt{2}.$ Chọn B
Gọi $A\left( a;\dfrac{a-3}{a+1} \right)\in \left( C \right)\Rightarrow {y}'\left( a \right)=\dfrac{4}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}$ nên phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại A là
$y-\dfrac{a-3}{a+1}=\dfrac{4}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)\Leftrightarrow y=\dfrac{4}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}.x+\dfrac{{{a}^{2}}-6a-3}{{{\left( a+1 \right)}^{2}}}\left( d \right).$
+) $\left( d \right)$ cắt tiệm cận đứng x=−1 tại $M\left( -1;\dfrac{a-7}{a+1} \right)\Rightarrow IM=\dfrac{8}{\left| a+1 \right|}.$
+) $\left( d \right)$ cắt tiệm cận ngang y=1 tại $N\left( 2a+1;1 \right)\Rightarrow IN=2\left| a+1 \right|.$
Đường thẳng $\left( d \right)$ tạo với hai đường tiệm cận tam giác IMN vuông tại $I\Rightarrow {{S}_{\!\!\Delta\!\!IMN}}=8.$
Bán kính đường tròn nội tiếp $\!\!\Delta\!\!IMN$ là $r=\dfrac{S}{p}=\dfrac{2\times {{S}_{\!\!\Delta\!\!IMN}}}{IM+IN+MN}\left( 1 \right).$
Mà $IM+IN+MN=IM+IN+\sqrt{I{{M}^{2}}+I{{N}^{2}}}\ge 2\sqrt{IM.IN}+\sqrt{2.IM.IN}=8+4\sqrt{2}\left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ suy ra $r\le \dfrac{2.8}{8+4\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}.$ Vậy ${{r}_{\max }}=4-2\sqrt{2}.$ Chọn B
Đáp án B.