Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{-x}{2x+1}$ có đồ thị là (C) và đường thẳng d có phương trình $y=x+m$ (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là lớn nhất?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm phương trình
$\dfrac{-x}{2x+1}=x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ne -\dfrac{1}{2} \\
& g\left( x \right)=2{{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+m=0 \\
\end{aligned} \right.$
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '>0 \\
& g\left( -\dfrac{1}{2} \right)\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+1>0,\forall m \\
& -\dfrac{1}{2}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi tọa độ giao điểm của (d) và (C) là $\left\{ \begin{aligned}
& A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right) \\
& B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right) \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{Vi-et}\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m-1 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{m}{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left( 2{{x}_{1}}+1 \right).\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)=-1$
Do $y'=-\dfrac{1}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{k}_{A}}=-\dfrac{1}{{{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}} \\
& {{k}_{B}}=-\dfrac{1}{{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{k}_{A}}+{{k}_{B}}=-\left[ \dfrac{1}{{{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}} \right]$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
$\dfrac{1}{{{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}}\ge \dfrac{2}{\left| \left( 2{{x}_{1}}+1 \right).\left( 2{{x}_{2}}+1 \right) \right|}=2\Leftrightarrow {{k}_{A}}+{{k}_{B}}\le -2$
Vậy $\max \left( {{k}_{A}}+{{k}_{B}} \right)=-2\Leftrightarrow 2{{x}_{1}}+1=-\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1\Leftrightarrow m=0$
$\dfrac{-x}{2x+1}=x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ne -\dfrac{1}{2} \\
& g\left( x \right)=2{{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)x+m=0 \\
\end{aligned} \right.$
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta '>0 \\
& g\left( -\dfrac{1}{2} \right)\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}+1>0,\forall m \\
& -\dfrac{1}{2}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi tọa độ giao điểm của (d) và (C) là $\left\{ \begin{aligned}
& A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right) \\
& B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right) \\
\end{aligned} \right.\xrightarrow{Vi-et}\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m-1 \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\dfrac{m}{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left( 2{{x}_{1}}+1 \right).\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)=-1$
Do $y'=-\dfrac{1}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{k}_{A}}=-\dfrac{1}{{{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}} \\
& {{k}_{B}}=-\dfrac{1}{{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{k}_{A}}+{{k}_{B}}=-\left[ \dfrac{1}{{{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}} \right]$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
$\dfrac{1}{{{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}}\ge \dfrac{2}{\left| \left( 2{{x}_{1}}+1 \right).\left( 2{{x}_{2}}+1 \right) \right|}=2\Leftrightarrow {{k}_{A}}+{{k}_{B}}\le -2$
Vậy $\max \left( {{k}_{A}}+{{k}_{B}} \right)=-2\Leftrightarrow 2{{x}_{1}}+1=-\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1\Leftrightarrow m=0$
Đáp án A.