Cho hàm số $y = \frac{- x}{2 x + 1}$ có đồ thị là (C) và đường thẳng d...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

y = \frac{- x}{2 x + 1}

có đồ thị là (C) và đường thẳng d có phương trình

y = x + m

(m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là lớn nhất?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0

Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm phương trình

\frac{- x}{2 x + 1} = x + m \Leftrightarrow {\begin{aligned} x \neq - \frac{1}{2} \\ g (x) = 2 x^{2} + 2 (m + 1) x + m = 0 \end{aligned}

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt

\Leftrightarrow {\begin{aligned} Δ^{'} > 0 \\ g (- \frac{1}{2}) \neq 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} m^{2} + 1 > 0, \forall m \\ - \frac{1}{2} \neq 0 \end{aligned}

Gọi tọa độ giao điểm của (d) và (C) là

{\begin{aligned} A (x_{1}; x_{1} + m) \\ B (x_{2}; x_{2} + m) \end{aligned} \overset{V i - e t}{\to} {\begin{aligned} x_{1} + x_{2} = - m - 1 \\ x_{1} . x_{2} = \frac{m}{2} \end{aligned}

\Rightarrow (2 x_{1} + 1) . (2 x_{2} + 1) = - 1

Do

y^{'} = - \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}} \Rightarrow {\begin{aligned} k_{A} = - \frac{1}{{(2 x_{1} + 1)}^{2}} \\ k_{B} = - \frac{1}{{(2 x_{2} + 1)}^{2}} \end{aligned} \Rightarrow k_{A} + k_{B} = - [\frac{1}{{(2 x_{1} + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(2 x_{2} + 1)}^{2}}]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

\frac{1}{{(2 x_{1} + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(2 x_{2} + 1)}^{2}} \geq \frac{2}{| (2 x_{1} + 1) . (2 x_{2} + 1) |} = 2 \Leftrightarrow k_{A} + k_{B} \leq - 2

Vậy

max (k_{A} + k_{B}) = - 2 \Leftrightarrow 2 x_{1} + 1 = - (2 x_{2} + 1) \Rightarrow x_{1} + x_{2} = - 1 \Leftrightarrow m = 0

Đáp án A.

Cho hàm số $y = \frac{- x}{2 x + 1}$ có đồ thị là (C) và đường thẳng d...

Quảng cáo

Thống kê diễn đàn

Share this page

Cho hàm số y=−x2x+1 có đồ thị là (C) và đường thẳng d...

Quảng cáo

Cho hàm số $y = \frac{- x}{2 x + 1}$ có đồ thị là (C) và đường thẳng d...