Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x-2}{x+2}$ có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng
A. $2\sqrt{2}.$
B. 4.
C. 2.
D. $2\sqrt{3}.$
A. $2\sqrt{2}.$
B. 4.
C. 2.
D. $2\sqrt{3}.$
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}.$ Ta có: $y=\dfrac{x-2}{x+2}=1-\dfrac{4}{x+2}.$ Đồ thị (C) có hai đường tiệm cận là $x=-2$ và $y=1.$ Suy ra $I\left( -2;1 \right)$. Gọi $A\left( a-2;1-\dfrac{4}{a} \right), B=\left( b-2;1-\dfrac{4}{b} \right)$ với $a,b\ne 0,a\ne b.$
Tam giác IAB đều $IA=IB=AB.$ Ta có: $IA=IB\Leftrightarrow {{a}^{2}}+\dfrac{16}{{{a}^{2}}}={{b}^{2}}+\dfrac{16}{{{b}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}-16 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=\pm a (1) \\
& {{a}^{2}}{{b}^{2}}=16 (2) \\
\end{aligned} \right. $ (do $ a\ne b$).
$IA=AB\Rightarrow {{a}^{2}}+\dfrac{16}{{{a}^{2}}}={{\left( a-b \right)}^{2}}+16\dfrac{{{\left( a-b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2{{\left( a-b \right)}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4ab$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& ab=4 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=16 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}=8\Rightarrow A{{B}^{2}}=2{{\left( a-b \right)}^{2}}=16\Rightarrow AB=4.$
Tam giác IAB đều $IA=IB=AB.$ Ta có: $IA=IB\Leftrightarrow {{a}^{2}}+\dfrac{16}{{{a}^{2}}}={{b}^{2}}+\dfrac{16}{{{b}^{2}}}$
$\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}-16 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& b=\pm a (1) \\
& {{a}^{2}}{{b}^{2}}=16 (2) \\
\end{aligned} \right. $ (do $ a\ne b$).
- Sẽ dẫn tới $A\equiv B$ hoặc I là trung điểm AB nên loại. Vậy ${{a}^{2}}{{b}^{2}}=16$.
$IA=AB\Rightarrow {{a}^{2}}+\dfrac{16}{{{a}^{2}}}={{\left( a-b \right)}^{2}}+16\dfrac{{{\left( a-b \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2{{\left( a-b \right)}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4ab$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& ab=4 \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=16 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}=8\Rightarrow A{{B}^{2}}=2{{\left( a-b \right)}^{2}}=16\Rightarrow AB=4.$
Đáp án B.