Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{-x+2}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\left( a;1 \right).$ Gọi $S$ là tập hợp các giá trị thực của $a$ để có đúng một tiếp tuyến từ $\left( C \right)$ đi qua $A.$ Tổng tất cả giá trị của phần tử $S$ bằng
A. 1.
B. $\dfrac{3}{2}.$
C. $\dfrac{5}{2}.$
D. $\dfrac{1}{2}.$
A. 1.
B. $\dfrac{3}{2}.$
C. $\dfrac{5}{2}.$
D. $\dfrac{1}{2}.$
Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ và có hệ số góc $k:y=k\left( x-a \right)+1$
Phương trình hoành đọ giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$ :
$k\left( x-a \right)+1=\dfrac{-x+2}{x-1}\Leftrightarrow \left( kx-ka+1 \right)\left( x-1 \right)=-x+2\left( x\ne 1 \right)$
$\Leftrightarrow k{{x}^{2}}+\left( -k-ka+2 \right)x-3+ka=0\left( x\ne 1 \right)\left( * \right).$
Với $k=0$, ta có $d:y=1$ là tiệm cận ngang đồ thị hàm số nên không thể tiếp xúc được.
Với $k\ne 0,d$ và $\left( C \right)$ tiếp xúc nhau $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có nghiệm kép
$\Leftrightarrow {{\Delta }_{x}}={{\left[ k\left( 1+a \right)-2 \right]}^{2}}-4k\left( -3+ka \right)=0\Leftrightarrow {{\Delta }_{x}}={{k}^{2}}{{\left( 1-a \right)}^{2}}-4k\left( a-2 \right)+4=0$
Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $k$ tham số $a$. Để qua $A\left( a;1 \right)$ vẽ được đúng 1 tiếp tuyến thì phương trình ${{\Delta }_{x}}=0$ có đúng một nghiệm $k\ne 0.$
* Xét $1-a=0\Leftrightarrow a=1$, ta có $4k+4=0\Leftrightarrow k=-1$ (thỏa mãn).
* Có $f\left( 0 \right)=4\ne 0$ nên loại đi trường hợp có hai nghiệm trong đó có một nghiệm là 0.
* Còn lại là trường hợp ${{\Delta }_{x}}=0$ có nghiệm kép khi
${{{\Delta }'}_{k}}=4\left( {{\left( a-2 \right)}^{2}}-{{\left( a-1 \right)}^{2}} \right)=4\left( 2a-3 \right)=0\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}.$
Tổng là $1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}.$
Phương trình hoành đọ giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$ :
$k\left( x-a \right)+1=\dfrac{-x+2}{x-1}\Leftrightarrow \left( kx-ka+1 \right)\left( x-1 \right)=-x+2\left( x\ne 1 \right)$
$\Leftrightarrow k{{x}^{2}}+\left( -k-ka+2 \right)x-3+ka=0\left( x\ne 1 \right)\left( * \right).$
Với $k=0$, ta có $d:y=1$ là tiệm cận ngang đồ thị hàm số nên không thể tiếp xúc được.
Với $k\ne 0,d$ và $\left( C \right)$ tiếp xúc nhau $\Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có nghiệm kép
$\Leftrightarrow {{\Delta }_{x}}={{\left[ k\left( 1+a \right)-2 \right]}^{2}}-4k\left( -3+ka \right)=0\Leftrightarrow {{\Delta }_{x}}={{k}^{2}}{{\left( 1-a \right)}^{2}}-4k\left( a-2 \right)+4=0$
Coi đây là phương trình bậc 2 ẩn $k$ tham số $a$. Để qua $A\left( a;1 \right)$ vẽ được đúng 1 tiếp tuyến thì phương trình ${{\Delta }_{x}}=0$ có đúng một nghiệm $k\ne 0.$
* Xét $1-a=0\Leftrightarrow a=1$, ta có $4k+4=0\Leftrightarrow k=-1$ (thỏa mãn).
* Có $f\left( 0 \right)=4\ne 0$ nên loại đi trường hợp có hai nghiệm trong đó có một nghiệm là 0.
* Còn lại là trường hợp ${{\Delta }_{x}}=0$ có nghiệm kép khi
${{{\Delta }'}_{k}}=4\left( {{\left( a-2 \right)}^{2}}-{{\left( a-1 \right)}^{2}} \right)=4\left( 2a-3 \right)=0\Leftrightarrow a=\dfrac{3}{2}.$
Tổng là $1+\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}.$
Đáp án C.