Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x-2}{x+1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Từ một điểm A trên trục hoành sao cho từ A có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị $\left( C \right)$. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của đồ thị đạt giá trị lớn nhất bằng
A. $\sqrt{10}$.
B. $\sqrt{26}$.
C. $\sqrt{12}$.
D. 6.
A. $\sqrt{10}$.
B. $\sqrt{26}$.
C. $\sqrt{12}$.
D. 6.
Ta có tiếp điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ nên phương trình tiếp tuyến: $y=\dfrac{3}{{{\left( {{x}_{0}}+1 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}+1}$
Gọi điểm $A\left( m;0 \right)$ thay vào tiếp tuyên ta có: $x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+3m-2=0\Leftrightarrow x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}=2-3m$.
Lại có ${{y}_{0}}=\dfrac{{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}+1}=1-\dfrac{3}{{{x}_{0}}+1}=1-\dfrac{3\left( {{x}_{0}}-5 \right)}{\left( {{x}_{0}}+1 \right)\left( {{x}_{0}}-5 \right)}=\dfrac{m+{{x}_{0}}-4}{m+1}\Rightarrow {{x}_{0}}-{{y}_{0}}\left( m+1 \right)+m-4=0$.
Nên phương trình đường thẳng là $x-y\left( m+1 \right)+m-4=0\Rightarrow d\left( 0;\Delta \right)=\dfrac{\left| m-4 \right|}{\sqrt{1+{{\left( m+1 \right)}^{2}}}}\le \sqrt{26}$.
Gọi điểm $A\left( m;0 \right)$ thay vào tiếp tuyên ta có: $x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+3m-2=0\Leftrightarrow x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}=2-3m$.
Lại có ${{y}_{0}}=\dfrac{{{x}_{0}}-2}{{{x}_{0}}+1}=1-\dfrac{3}{{{x}_{0}}+1}=1-\dfrac{3\left( {{x}_{0}}-5 \right)}{\left( {{x}_{0}}+1 \right)\left( {{x}_{0}}-5 \right)}=\dfrac{m+{{x}_{0}}-4}{m+1}\Rightarrow {{x}_{0}}-{{y}_{0}}\left( m+1 \right)+m-4=0$.
Nên phương trình đường thẳng là $x-y\left( m+1 \right)+m-4=0\Rightarrow d\left( 0;\Delta \right)=\dfrac{\left| m-4 \right|}{\sqrt{1+{{\left( m+1 \right)}^{2}}}}\le \sqrt{26}$.
Đáp án B.