Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x-2}{x+1}$ có đồ thị hàm số (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng
A. $2\sqrt{3}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{6}$
A. $2\sqrt{3}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{6}$
Tịnh tiến hệ trục theo vecto $\overrightarrow{OI}=\left( -1;1 \right)\to I\left( 0;0 \right)$ và $\left( C \right):Y=\dfrac{-3}{X}$
Gọi $A\left( a;\dfrac{-3}{a} \right), B\left( b;\dfrac{-3}{b} \right)\in \left( C \right)$, điều kiện $\left( a\ne b \right)$
Theo đề bài, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IA=IB \\
& \cos \left( \overrightarrow{IA};\overrightarrow{IB} \right)={{60}^{o}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+\dfrac{9}{{{a}^{2}}}={{b}^{2}}+\dfrac{9}{{{b}^{2}}}\left( 1 \right) \\
& \dfrac{ab+\dfrac{9}{ab}}{A{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ (2) $\Rightarrow ab>0$ do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}-9 \right)=0\xrightarrow{ab>0}ab=3$
Suy ra: $A{{B}^{2}}=2\left( 3+\dfrac{9}{3} \right)=12\Rightarrow AB=2\sqrt{3}$
Gọi $A\left( a;\dfrac{-3}{a} \right), B\left( b;\dfrac{-3}{b} \right)\in \left( C \right)$, điều kiện $\left( a\ne b \right)$
Theo đề bài, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& IA=IB \\
& \cos \left( \overrightarrow{IA};\overrightarrow{IB} \right)={{60}^{o}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}^{2}}+\dfrac{9}{{{a}^{2}}}={{b}^{2}}+\dfrac{9}{{{b}^{2}}}\left( 1 \right) \\
& \dfrac{ab+\dfrac{9}{ab}}{A{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{2}\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Từ (2) $\Rightarrow ab>0$ do đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}-9 \right)=0\xrightarrow{ab>0}ab=3$
Suy ra: $A{{B}^{2}}=2\left( 3+\dfrac{9}{3} \right)=12\Rightarrow AB=2\sqrt{3}$
Đáp án A.