Cho hàm số $y={\displaystyle \frac{x^2-m^2+2m+1}{x-m}}$ (với m là...

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{m\right\}.$
Ta có: $y^{\prime }={\displaystyle \frac{x^2-2mx+m^2-(2m+1)}{{(x-m)}^2}}.$
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì: $y^{\prime }\ge 0,\mathrm{\forall }x\in D$
$\iff x^2-2mx+m^2-(2m+1)\ge 0,\mathrm{\forall }x\ne m$
$\iff \{\begin{array}{rl}& a=1>0\\ & {\mathrm{\Delta }}^{\prime }=2m+1\le 0\end{array}\iff m\le -{\displaystyle \frac{1}{2}}.$

Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện của tham số để hàm số $y={\displaystyle \frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n}}$ $(a,m\ne 0)$ đơn điệu trên từng khoảng xác định.
Bước 1: TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-{\displaystyle \frac{n}{m}}\}.$
Bước 2: Ta có: $y^{\prime }={\displaystyle \frac{A{x}^2+Bx+C}{{(mx+n)}^2}}.$
Bước 3: Theo bài ra ta có:
+ Để hàm số đồng biến trên D thì $y^{\prime }\ge 0,\mathrm{\forall }x\in D\iff A{x}^2+Bx+C\ge 0,\mathrm{\forall }x\in D$
$\iff \{\begin{array}{rl}& A>0\\ & \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}.$
+ Để hàm số nghịch biến trên D thì $y^{\prime }\le 0,\mathrm{\forall }x\in D\iff x^2+Bx+C\le 0,\mathrm{\forall }x\in D$
$\iff \{\begin{array}{rl}& A<0\\ & \mathrm{\Delta }\le 0\end{array}.$