Cho hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-{{m}^{2}}+2m+1}{x-m}$ (với m là...

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}.$
Ta có: ${y}'=\dfrac{{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-\left( 2m+1 \right)}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}.$
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì: ${y}'\ge 0,\forall x\in D$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-\left( 2m+1 \right)\ge 0,\forall x\ne m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=1>0 \\
& {\Delta }'=2m+1\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le -\dfrac{1}{2}.$

Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện của tham số để hàm số $y=\dfrac{a{{x}^{2}}+bx+c}{mx+n}$ $\left( a,m\ne 0 \right)$ đơn điệu trên từng khoảng xác định.
Bước 1: TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{n}{m} \right\}.$
Bước 2: Ta có: ${y}'=\dfrac{A{{x}^{2}}+Bx+C}{{{\left( mx+n \right)}^{2}}}.$
Bước 3: Theo bài ra ta có:
+ Để hàm số đồng biến trên D thì ${y}'\ge 0,\forall x\in D\Leftrightarrow A{{x}^{2}}+Bx+C\ge 0,\forall x\in D$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A>0 \\
& \Delta \le 0 \\
\end{aligned} \right..$
+ Để hàm số nghịch biến trên D thì ${y}'\le 0,\forall x\in D\Leftrightarrow {{x}^{2}}+Bx+C\le 0,\forall x\in D$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& A<0 \\
& \Delta \le 0 \\
\end{aligned} \right..$