Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x+2}{2x+3}(C)$. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB cân tại O?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{3}{2} \right\};y'=\dfrac{-1}{{{\left( 2x+3 \right)}^{2}}}.$
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C).
Do tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ tam giác vuông cân tại O nên tiếp tuyến vuông góc với các đường phân giác của các góc phần tư suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là $a=\pm 1$.
Trường hợp 1: Nếu $a=1$ thì $\dfrac{-1}{{{\left( 2{{x}_{0}}+3 \right)}^{2}}}=1$ vô nghiệm.
Trường hợp 2: Nếu $a=-1$ thì là $\dfrac{-1}{{{\left( 2{{x}_{0}}+3 \right)}^{2}}}=-1\Rightarrow {{\left( 2{{x}_{0}}+3 \right)}^{2}}=1\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=-1 \\
& {{x}_{0}}=-2 \\
\end{aligned} \right..$
Khi ${{x}_{0}}=-1,{{y}_{0}}=1$, phương trình tiếp tuyến là $y=-1\left( x+1 \right)+1\Leftrightarrow y=x$ (loại) do tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ nên không tạo được tam giác vuông cân.
Khi ${{x}_{0}}=-2,{{y}_{0}}=0$, phương trình tiếp tuyến là $y=-1\left( x+2 \right)+0\Leftrightarrow y=-x-2$ (thỏa mãn).
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)$ là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C).
Do tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ tam giác vuông cân tại O nên tiếp tuyến vuông góc với các đường phân giác của các góc phần tư suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là $a=\pm 1$.
Trường hợp 1: Nếu $a=1$ thì $\dfrac{-1}{{{\left( 2{{x}_{0}}+3 \right)}^{2}}}=1$ vô nghiệm.
Trường hợp 2: Nếu $a=-1$ thì là $\dfrac{-1}{{{\left( 2{{x}_{0}}+3 \right)}^{2}}}=-1\Rightarrow {{\left( 2{{x}_{0}}+3 \right)}^{2}}=1\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=-1 \\
& {{x}_{0}}=-2 \\
\end{aligned} \right..$
Khi ${{x}_{0}}=-1,{{y}_{0}}=1$, phương trình tiếp tuyến là $y=-1\left( x+1 \right)+1\Leftrightarrow y=x$ (loại) do tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ nên không tạo được tam giác vuông cân.
Khi ${{x}_{0}}=-2,{{y}_{0}}=0$, phương trình tiếp tuyến là $y=-1\left( x+2 \right)+0\Leftrightarrow y=-x-2$ (thỏa mãn).
Đáp án A.