Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+m}\ \left( m\ne -1 \right)$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Tìm $m$ đề đồ thị $\left( C \right)$ nhận điểm $I\left( 2;1 \right)$ làm tâm đối xứng.
A. $m=\dfrac{1}{2}$.
B. $m=-\dfrac{1}{2}$.
C. $m=2$.
D. $m=-2$.
Gọi $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thuộc đồ thị $\left( C \right)$ khi đó điểm ${A}'$ đối xứng với $A$ qua $I\left( 2;1 \right)$ có tọa độ là $\left( 4-{{x}_{0}};2-{{y}_{0}} \right)$ với $4-{{x}_{0}}+m\ne 0,\forall {{x}_{0}}\ne -m$. Khi đó, $2-{{y}_{0}}=\dfrac{4-{{x}_{0}}-1}{4-{{x}_{0}}+m}\Rightarrow 2-\dfrac{{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}+m}=\dfrac{4-{{x}_{0}}-1}{4-{{x}_{0}}+m}$.
Vậy : $\dfrac{{{x}_{0}}+2m-1}{{{x}_{0}}+m}=\dfrac{{{x}_{0}}-5}{{{x}_{0}}-m-4}\Rightarrow \left( m-5 \right){{x}_{0}}-\left( m+4 \right)\left( 2m-1 \right)=\left( m-5 \right){{x}_{0}}-5m$.
$\Rightarrow 2{{m}^{2}}+2m-4=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $m=1$ thì với ${{x}_{0}}=5\ne -1$ có $4-{{x}_{0}}+m=0$ nên $m=1$ không thỏa mãn.
Với $m=-2$ thì với $\forall {{x}_{0}}\ne 2$ thì $4-{{x}_{0}}\ne 2$ nên $m=-2$ thỏa mãn.
A. $m=\dfrac{1}{2}$.
B. $m=-\dfrac{1}{2}$.
C. $m=2$.
D. $m=-2$.
Gọi $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ thuộc đồ thị $\left( C \right)$ khi đó điểm ${A}'$ đối xứng với $A$ qua $I\left( 2;1 \right)$ có tọa độ là $\left( 4-{{x}_{0}};2-{{y}_{0}} \right)$ với $4-{{x}_{0}}+m\ne 0,\forall {{x}_{0}}\ne -m$. Khi đó, $2-{{y}_{0}}=\dfrac{4-{{x}_{0}}-1}{4-{{x}_{0}}+m}\Rightarrow 2-\dfrac{{{x}_{0}}-1}{{{x}_{0}}+m}=\dfrac{4-{{x}_{0}}-1}{4-{{x}_{0}}+m}$.
Vậy : $\dfrac{{{x}_{0}}+2m-1}{{{x}_{0}}+m}=\dfrac{{{x}_{0}}-5}{{{x}_{0}}-m-4}\Rightarrow \left( m-5 \right){{x}_{0}}-\left( m+4 \right)\left( 2m-1 \right)=\left( m-5 \right){{x}_{0}}-5m$.
$\Rightarrow 2{{m}^{2}}+2m-4=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=-2 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $m=1$ thì với ${{x}_{0}}=5\ne -1$ có $4-{{x}_{0}}+m=0$ nên $m=1$ không thỏa mãn.
Với $m=-2$ thì với $\forall {{x}_{0}}\ne 2$ thì $4-{{x}_{0}}\ne 2$ nên $m=-2$ thỏa mãn.
Đáp án D.