Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{x+2}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y=-2x+m-1$ ( $m$ là tham số thực). Gọi ${{k}_{1}},{{k}_{2}}$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của $d$ và $\left( C \right).$ Khi đó ${{k}_{1}}.{{k}_{2}}$ bằng
A. 3.
B. 4.
C. $\dfrac{1}{4}.$
D. 2.
A. 3.
B. 4.
C. $\dfrac{1}{4}.$
D. 2.
Ta có $y=\dfrac{x+1}{x+2}\Rightarrow {y}'=\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}.$
Hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$ là nghiệm của phương trình:
$\dfrac{x+1}{x+2}=-2x+m-1\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+\left( 6-m \right)x+3-m=0. \left( 1 \right)$ (luôn có 2 nghiệm phân biệt).
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) thì $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2}\left( m-6 \right) \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2}\left( 3-2m \right) \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó hệ số góc ${{k}_{1}}={y}'\left( {{x}_{1}} \right)=\dfrac{1}{{{\left( {{x}_{1}}+2 \right)}^{2}}},{{k}_{2}}={y}'\left( {{x}_{2}} \right)=\dfrac{1}{{{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}}.$
Nên ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=\dfrac{1}{{{\left[ \left( {{x}_{1}}+2 \right)\left( {{x}_{2}}+2 \right) \right]}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{3}{2}-m+m-6+4 \right)}^{2}}}=4.$
Hoành độ giao điểm của $d$ và $\left( C \right)$ là nghiệm của phương trình:
$\dfrac{x+1}{x+2}=-2x+m-1\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+\left( 6-m \right)x+3-m=0. \left( 1 \right)$ (luôn có 2 nghiệm phân biệt).
Gọi ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) thì $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2}\left( m-6 \right) \\
& {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{1}{2}\left( 3-2m \right) \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó hệ số góc ${{k}_{1}}={y}'\left( {{x}_{1}} \right)=\dfrac{1}{{{\left( {{x}_{1}}+2 \right)}^{2}}},{{k}_{2}}={y}'\left( {{x}_{2}} \right)=\dfrac{1}{{{\left( {{x}_{2}}+2 \right)}^{2}}}.$
Nên ${{k}_{1}}{{k}_{2}}=\dfrac{1}{{{\left[ \left( {{x}_{1}}+2 \right)\left( {{x}_{2}}+2 \right) \right]}^{2}}}=\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{3}{2}-m+m-6+4 \right)}^{2}}}=4.$
Đáp án B.