Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+2}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $I$ là giao điểm của hai tiệm cận của $\left( C \right)$. Xét tam giác đều $ABI$ có hai đỉnh $A,B$ thuộc $\left( C \right)$. Đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng
A. $\sqrt{6}$.
B. $2\sqrt{3}$.
C. 2.
D. $2\sqrt{2}$.
A. $\sqrt{6}$.
B. $2\sqrt{3}$.
C. 2.
D. $2\sqrt{2}$.
Định hướng:
Tam giác $ABI$ đều khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}} \\
& \cos \left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB} \right)=\cos 60{}^\circ \\
\end{aligned} \right. $, tuy nhiên giải hệ này rất dài. Ta thấy góc $ \widehat{AIB}=60{}^\circ $ thì vì tính đối xứng nên $ \left( \widehat{IA,Ox} \right)=165{}^\circ $ suy ra $ {{k}_{IA}}=\tan 165{}^\circ $ từ đây viết được phương trình $ IA $, sau đó lập phương trình hoành độ giao điểm giải ra tọa độ $ A $ hoặc $ B $, cuối cùng tính được $ AB=IA$.
Hướng Dẫn giải
Dễ thấy hệ số góc của đường thẳng $IA$ là $k=\tan 165{}^\circ =\sqrt{3}-2$
Suy ra phương trình $IA:y=\left( \sqrt{3}-2 \right)\left( x+2 \right)+1$.
Hoành độ điểm $A$ thỏa mãn
$\left( \sqrt{3}-2 \right)\left( x+2 \right)+1=\dfrac{x-2}{x+2}$, bấm shift solve giải ra $x\Rightarrow y$, từ đó dễ dàng tính được
$IA=\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{3}$.
Tam giác $ABI$ đều khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& I{{A}^{2}}=I{{B}^{2}} \\
& \cos \left( \overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB} \right)=\cos 60{}^\circ \\
\end{aligned} \right. $, tuy nhiên giải hệ này rất dài. Ta thấy góc $ \widehat{AIB}=60{}^\circ $ thì vì tính đối xứng nên $ \left( \widehat{IA,Ox} \right)=165{}^\circ $ suy ra $ {{k}_{IA}}=\tan 165{}^\circ $ từ đây viết được phương trình $ IA $, sau đó lập phương trình hoành độ giao điểm giải ra tọa độ $ A $ hoặc $ B $, cuối cùng tính được $ AB=IA$.
Hướng Dẫn giải
Dễ thấy hệ số góc của đường thẳng $IA$ là $k=\tan 165{}^\circ =\sqrt{3}-2$
Suy ra phương trình $IA:y=\left( \sqrt{3}-2 \right)\left( x+2 \right)+1$.
Hoành độ điểm $A$ thỏa mãn
$\left( \sqrt{3}-2 \right)\left( x+2 \right)+1=\dfrac{x-2}{x+2}$, bấm shift solve giải ra $x\Rightarrow y$, từ đó dễ dàng tính được
$IA=\sqrt{{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{3}$.
Đáp án B.