Google
Câu hỏi: Cho hàm số ${y=\dfrac{x-1}{x+1}}$ có đồ thị ${\left( C \right)}$. Gọi ${I}$ là giao điểm của hai tiệm cận của ${\left( C \right)}$. Xét tam giác đều ${ABI}$ có hai đỉnh ${A,B}$ thuộc ${\left( C \right)}$, đoạn ${AB}$ có độ dài bằng
A. 3.
B. ${2\sqrt{3}.}$
C. 2.
D. ${2\sqrt{2}.}$
A. 3.
B. ${2\sqrt{3}.}$
C. 2.
D. ${2\sqrt{2}.}$
Giao điểm hai tiệm cận là $I\left( -1;1 \right).$
Do tính chất đối xứng nên tam giác AIB đều thì AB vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II (đồng thời là phân giác góc phần tư thứ IV).
Phương trình đường thẳng AB là $y=x+m.$
Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là $\dfrac{x-1}{x+1}=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+m+1=0.$
Điều kiện 2 giao điểm phân biệt là $\Delta ={{m}^{2}}4m4>0.$
Giả sử $A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right),B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right)\Rightarrow A{{B}^{2}}=2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=2\left[ {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=2\left[ {{m}^{2}}-4\left( m+1 \right) \right].$
Điều kiện tam giác AIB đều là
$IH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB\Rightarrow d\left( I,AB \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB\Rightarrow \dfrac{\left| m-2 \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{2\left[ {{m}^{2}}-4m-4 \right]}$
$\Leftrightarrow \left| m2 \right|=\sqrt{3}.\sqrt{{{m}^{2}}4m4}\Rightarrow {{m}^{2}}4m+4=3{{m}^{2}}12m12$
$\Rightarrow 2{{m}^{2}}8m-16=0\Rightarrow {{m}^{2}}-4m=8\Rightarrow AB=\sqrt{2\left( {{m}^{2}}4m4 \right)}=\sqrt{2\left( 84 \right)}=2\sqrt{2}$
Do tính chất đối xứng nên tam giác AIB đều thì AB vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ II (đồng thời là phân giác góc phần tư thứ IV).
Phương trình đường thẳng AB là $y=x+m.$
Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là $\dfrac{x-1}{x+1}=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+m+1=0.$
Điều kiện 2 giao điểm phân biệt là $\Delta ={{m}^{2}}4m4>0.$
Giả sử $A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right),B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right)\Rightarrow A{{B}^{2}}=2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=2\left[ {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=2\left[ {{m}^{2}}-4\left( m+1 \right) \right].$
Điều kiện tam giác AIB đều là
$IH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB\Rightarrow d\left( I,AB \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB\Rightarrow \dfrac{\left| m-2 \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{2\left[ {{m}^{2}}-4m-4 \right]}$
$\Leftrightarrow \left| m2 \right|=\sqrt{3}.\sqrt{{{m}^{2}}4m4}\Rightarrow {{m}^{2}}4m+4=3{{m}^{2}}12m12$
$\Rightarrow 2{{m}^{2}}8m-16=0\Rightarrow {{m}^{2}}-4m=8\Rightarrow AB=\sqrt{2\left( {{m}^{2}}4m4 \right)}=\sqrt{2\left( 84 \right)}=2\sqrt{2}$
Đáp án D.