Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ có đồ thị (C). Gỉa sử A, B là hai điểm thuộc (C) và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF. Tìm diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF
A. ${{S}_{\min }}=8\sqrt{2}$
B. ${{S}_{\min }}=4\sqrt{2}$
C. ${{S}_{\min }}=8$
D. ${{S}_{\min }}=16$
B. ${{S}_{\min }}=4\sqrt{2}$
C. ${{S}_{\min }}=8$
D. ${{S}_{\min }}=16$
Ta có $y=\dfrac{x+1}{x-1}=1+\dfrac{2}{x-1}$.
Gọi $A\left( a;1+\dfrac{2}{a-1} \right),a\ne 1$ là một điểm bất kỳ thuộc đồ thị (C).
Gọi $I\left( 1;1 \right)$ là giao điểm của hai đường tiệm cận, ta có $I{{A}^{2}}={{\left( 1-a \right)}^{2}}+\dfrac{4}{{{\left( 1-a \right)}^{2}}}$.
Theo giả thiết ta có AEBF là hình vuông nên ${{S}_{AEBF}}=A{{E}^{2}}\Rightarrow {{S}_{AEBF}}$ nhỏ nhất khi $A{{E}^{2}}$ nhỏ nhất. Với
$AE=AI\sqrt{2}\Rightarrow A{{E}^{2}}=2A{{I}^{2}}=2{{\left( 1-a \right)}^{2}}+\dfrac{8}{{{\left( 1-a \right)}^{2}}}$.
Mặt khác ta lại có $2{{\left( 1-a \right)}^{2}}+\dfrac{8}{{{\left( 1-a \right)}^{2}}}\ge 2\sqrt{2{{\left( 1-a \right)}^{2}}.\dfrac{8}{{{\left( 1-a \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow 2{{\left( 1-a \right)}^{2}}+\dfrac{8}{{{\left( 1-a \right)}^{2}}}\ge 8$
Hay $A{{E}^{2}}\ge 8$. Dấu " = " xảy ra khi ${{\left( 1-a \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& a=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy diện tích hình vuông AEBF nhỏ nhất bằng 8.
Gọi $A\left( a;1+\dfrac{2}{a-1} \right),a\ne 1$ là một điểm bất kỳ thuộc đồ thị (C).
Gọi $I\left( 1;1 \right)$ là giao điểm của hai đường tiệm cận, ta có $I{{A}^{2}}={{\left( 1-a \right)}^{2}}+\dfrac{4}{{{\left( 1-a \right)}^{2}}}$.
Theo giả thiết ta có AEBF là hình vuông nên ${{S}_{AEBF}}=A{{E}^{2}}\Rightarrow {{S}_{AEBF}}$ nhỏ nhất khi $A{{E}^{2}}$ nhỏ nhất. Với
$AE=AI\sqrt{2}\Rightarrow A{{E}^{2}}=2A{{I}^{2}}=2{{\left( 1-a \right)}^{2}}+\dfrac{8}{{{\left( 1-a \right)}^{2}}}$.
Mặt khác ta lại có $2{{\left( 1-a \right)}^{2}}+\dfrac{8}{{{\left( 1-a \right)}^{2}}}\ge 2\sqrt{2{{\left( 1-a \right)}^{2}}.\dfrac{8}{{{\left( 1-a \right)}^{2}}}}\Leftrightarrow 2{{\left( 1-a \right)}^{2}}+\dfrac{8}{{{\left( 1-a \right)}^{2}}}\ge 8$
Hay $A{{E}^{2}}\ge 8$. Dấu " = " xảy ra khi ${{\left( 1-a \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-1 \\
& a=3 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy diện tích hình vuông AEBF nhỏ nhất bằng 8.
Đáp án C.