Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ có đồ thị (C). Giả sử A, B là hai điểm thuộc (C) và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF. Diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF là
A. $8\sqrt{2}$
B. $4\sqrt{2}$
C. 8
D. 16
A. $8\sqrt{2}$
B. $4\sqrt{2}$
C. 8
D. 16
Gọi $A\left( a;\dfrac{a+1}{a-1} \right)\in (C)$
Vì $I(1;1)$ là trung điểm AB $\Rightarrow B\left( 2-a;\dfrac{a-3}{a-1} \right)$
Khi đó $\overrightarrow{AB}=\left( 2-2a;-\dfrac{4}{a-1} \right)\Rightarrow AB=\sqrt{4{{(a-1)}^{2}}+\dfrac{16}{{{(a-1)}^{2}}}}$
$=2\sqrt{{{(a-1)}^{2}}+\dfrac{4}{{{(a-1)}^{2}}}}\ge 2\sqrt{\sqrt{{{(a-1)}^{2}}.\dfrac{4}{{{(a-1)}^{2}}}}}=2\sqrt{2}$
Suy ra ${{S}_{AEBF}}=A{{E}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}\ge \dfrac{1}{2}{{.4}^{2}}=8$
Vậy ${{S}_{\min }}=8$
Độ dài véctơ $\overrightarrow{a}=(x;y)$ là $\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
Bất đẳng thức Cô-si:
Với hai số a;b không âm ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$
Vì $I(1;1)$ là trung điểm AB $\Rightarrow B\left( 2-a;\dfrac{a-3}{a-1} \right)$
Khi đó $\overrightarrow{AB}=\left( 2-2a;-\dfrac{4}{a-1} \right)\Rightarrow AB=\sqrt{4{{(a-1)}^{2}}+\dfrac{16}{{{(a-1)}^{2}}}}$
$=2\sqrt{{{(a-1)}^{2}}+\dfrac{4}{{{(a-1)}^{2}}}}\ge 2\sqrt{\sqrt{{{(a-1)}^{2}}.\dfrac{4}{{{(a-1)}^{2}}}}}=2\sqrt{2}$
Suy ra ${{S}_{AEBF}}=A{{E}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{2}\ge \dfrac{1}{2}{{.4}^{2}}=8$
Vậy ${{S}_{\min }}=8$
Note 29: Phương pháp chung
Tọa độ véctơ $\overrightarrow{AB}=({{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}})$ Độ dài véctơ $\overrightarrow{a}=(x;y)$ là $\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
Bất đẳng thức Cô-si:
Với hai số a;b không âm ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$
Đáp án C.