Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{x+1}{2x+1}$ có đồ thị (C). Gọi A(x1;y2), B(x2,y2) là hai điểm phân biệt thuộc(C)sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau. Độ dài nhỏ nhất của đoạn AB bằng
A. $h=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
B. $h=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
C. $h=\sqrt{3}$
D. $h=\sqrt{2}$
A. $h=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
B. $h=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
C. $h=\sqrt{3}$
D. $h=\sqrt{2}$
Tập xác định: $D=R\backslash \left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}$
Ta có $y'=-\dfrac{1}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}$
Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên ${{k}_{A}}={{k}_{B}}\Leftrightarrow y'\left( {{x}_{1}} \right)=y'\left( {{x}_{2}} \right)$
$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}=-\dfrac{1}{{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2{{x}_{1}}+1=2{{x}_{2}}+1 \\
& 2{{x}_{1}}+1=-2{{x}_{2}}-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{x}_{2}}\Rightarrow A\equiv B\left( loai \right) \\
& 2{{x}_{2}}+1=-\left( 2{{x}_{1}}+1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1$
Do ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1$ nên không mất tính tổng quát giả sử ${{x}_{2}}<0$.
Ta có: $A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{x}_{2}}+1}{2{{x}_{2}}+1}-\dfrac{{{x}_{1}}+1}{2{{x}_{1}}+1} \right)}^{2}}$
$={{\left( {{x}_{2}}+\left( 1+{{x}_{2}} \right) \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{x}_{2}}+1}{2{{x}_{2}}+1}+\dfrac{{{x}_{1}}+1}{2{{x}_{1}}+1} \right)}^{2}} \left( do {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \right)$
$={{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}+\dfrac{1}{{{\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\ge 2$ (bất đẳng thức Cauchy).
$AB=\sqrt{2}$ khi $A\left( 0;1 \right),B\left( -1;0 \right).~$
Vậy độ dài nhỏ nhất của đoạn AB bằng $\sqrt{2}$.
Ta có $y'=-\dfrac{1}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}$
Tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên ${{k}_{A}}={{k}_{B}}\Leftrightarrow y'\left( {{x}_{1}} \right)=y'\left( {{x}_{2}} \right)$
$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{\left( 2{{x}_{1}}+1 \right)}=-\dfrac{1}{{{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2{{x}_{1}}+1=2{{x}_{2}}+1 \\
& 2{{x}_{1}}+1=-2{{x}_{2}}-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{x}_{2}}\Rightarrow A\equiv B\left( loai \right) \\
& 2{{x}_{2}}+1=-\left( 2{{x}_{1}}+1 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1$
Do ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1$ nên không mất tính tổng quát giả sử ${{x}_{2}}<0$.
Ta có: $A{{B}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{x}_{2}}+1}{2{{x}_{2}}+1}-\dfrac{{{x}_{1}}+1}{2{{x}_{1}}+1} \right)}^{2}}$
$={{\left( {{x}_{2}}+\left( 1+{{x}_{2}} \right) \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{{{x}_{2}}+1}{2{{x}_{2}}+1}+\dfrac{{{x}_{1}}+1}{2{{x}_{1}}+1} \right)}^{2}} \left( do {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-1 \right)$
$={{\left( 2{{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}+\dfrac{1}{{{\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\ge 2$ (bất đẳng thức Cauchy).
$AB=\sqrt{2}$ khi $A\left( 0;1 \right),B\left( -1;0 \right).~$
Vậy độ dài nhỏ nhất của đoạn AB bằng $\sqrt{2}$.
Đáp án D.