Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{\sqrt{x-2}}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x-7 \right)}$. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A. $3$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $5$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $4$.
D. $5$.
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{aligned}
& x-2\ge 0 \\
& {{x}^{2}}-4\ne 0 \\
& 2x-7\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 2 \\
& x\ne \pm 2 \\
& x\ne \dfrac{7}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>2 \\
& x\ne \dfrac{7}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x-2}}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x-7 \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{{{x}^{5}}}-\dfrac{2}{{{x}^{6}}}}}{\left( 1-\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right)\left( 2-\dfrac{7}{x} \right)}=0$.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0$.
$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x-2}}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x-7 \right)}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+2 \right)\sqrt{x-2}\left( 2x-7 \right)}=-\infty $.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$.
$\underset{x\to {{\left( \dfrac{7}{2} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{\left( \dfrac{7}{2} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x-2}}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x-7 \right)}=+\infty ; \underset{x\to {{\left( \dfrac{7}{2} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{\left( \dfrac{7}{2} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x-2}}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x-7 \right)}=-\infty $.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=\dfrac{7}{2}$.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
& x-2\ge 0 \\
& {{x}^{2}}-4\ne 0 \\
& 2x-7\ne 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ge 2 \\
& x\ne \pm 2 \\
& x\ne \dfrac{7}{2} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>2 \\
& x\ne \dfrac{7}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x-2}}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x-7 \right)}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{{{x}^{5}}}-\dfrac{2}{{{x}^{6}}}}}{\left( 1-\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right)\left( 2-\dfrac{7}{x} \right)}=0$.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y=0$.
$\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x-2}}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x-7 \right)}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{1}{\left( x+2 \right)\sqrt{x-2}\left( 2x-7 \right)}=-\infty $.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$.
$\underset{x\to {{\left( \dfrac{7}{2} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{\left( \dfrac{7}{2} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x-2}}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x-7 \right)}=+\infty ; \underset{x\to {{\left( \dfrac{7}{2} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=\underset{x\to {{\left( \dfrac{7}{2} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} \dfrac{\sqrt{x-2}}{\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( 2x-7 \right)}=-\infty $.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x=\dfrac{7}{2}$.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
Đáp án A.