Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{mx-2m-3}{x-m}$ (với m là tham số). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.
A. 5.
B. 4.
C. Vô số.
D. 3.
A. 5.
B. 4.
C. Vô số.
D. 3.
TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}$
Ta có ${y}'=\dfrac{-{{m}^{2}}+2m+3}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì: ${y}'>0,\forall x\in D$
$\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+2m+3>0\Leftrightarrow -1<m<3$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2 \right\}$
Vậy $S=\left\{ 0;1;2 \right\}$
Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện của tham số để hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\left( a,c\ne 0 \right)$ đơn điệu trên từng khoảng xác định.
Bước 1: TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{d}{c} \right\}$
Bước 2: Ta có ${y}'=\dfrac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}$
Bước 3: Theo bài ra ta có:
+ Để hàm số đồng biến trên D thì ${y}'>0,\forall x\in D\Leftrightarrow ad-bc>0$
+ Để hàm số nghịch biến trên D thì ${y}'<0,\forall x\in D\Leftrightarrow ad-bc<0$
Ta có ${y}'=\dfrac{-{{m}^{2}}+2m+3}{{{\left( x-m \right)}^{2}}}$
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì: ${y}'>0,\forall x\in D$
$\Leftrightarrow -{{m}^{2}}+2m+3>0\Leftrightarrow -1<m<3$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 0;1;2 \right\}$
Vậy $S=\left\{ 0;1;2 \right\}$
Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện của tham số để hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\left( a,c\ne 0 \right)$ đơn điệu trên từng khoảng xác định.
Bước 1: TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{d}{c} \right\}$
Bước 2: Ta có ${y}'=\dfrac{ad-bc}{{{\left( cx+d \right)}^{2}}}$
Bước 3: Theo bài ra ta có:
+ Để hàm số đồng biến trên D thì ${y}'>0,\forall x\in D\Leftrightarrow ad-bc>0$
+ Để hàm số nghịch biến trên D thì ${y}'<0,\forall x\in D\Leftrightarrow ad-bc<0$
Đáp án D.