Cho hàm số $y={\displaystyle \frac{mx-2m-3}{x-m}}$ (với m là tham số). Gọi S là...

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{m\right\}$
Ta có $y^{\prime }={\displaystyle \frac{-m^2+2m+3}{{(x-m)}^2}}$
Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì: $y^{\prime }>0,\mathrm{\forall }x\in D$
$\iff -m^2+2m+3>0\iff -1<m<3$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{0;1;2\}$
Vậy $S=\{0;1;2\}$
Bài toán tổng quát: Tìm điều kiện của tham số để hàm số $y={\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}(a,c\ne 0)$ đơn điệu trên từng khoảng xác định.
Bước 1: TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{-{\displaystyle \frac{d}{c}}\}$
Bước 2: Ta có $y^{\prime }={\displaystyle \frac{ad-bc}{{(cx+d)}^2}}$
Bước 3: Theo bài ra ta có:
+ Để hàm số đồng biến trên D thì $y^{\prime }>0,\mathrm{\forall }x\in D\iff ad-bc>0$
+ Để hàm số nghịch biến trên D thì $y^{\prime }<0,\mathrm{\forall }x\in D\iff ad-bc<0$