Cho hàm số $y=\dfrac{m.\sqrt{x-1}-9}{\sqrt{x-1}-m}$. Có tất cả bao...

Đặt $t=\sqrt{x-1}\Rightarrow {t}'=\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}>0,\forall x\in (2;17)\Rightarrow $ t là hàm đồng biến và $t\in (1;4)$.
Khi đó bài toán có thể phát biểu lại là: "Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $y=\dfrac{mt-9}{t-m}$ đồng biến trên khoảng $(1;4)$ ".
Yêu cầu bài toán tương đương:
${y}'=\dfrac{-{{m}^{2}}+9}{{{(t-m)}^{2}}}>0,\forall t\in (1;4)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\notin (1;4) \\
& -{{m}^{2}}+9>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& m\ge 4 \\
\end{aligned} \right. \\
& -3<m<3 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow -3<m\le 1\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ -2;-1;0;1 \right\}$ : có 4 giá trị m thỏa mãn.