Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{\left( {{m}^{2}}-m \right){{x}^{3}}}{3}+\left( {{m}^{2}}-m \right){{x}^{2}}+mx+2.$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 5.
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 5.
Điều kiện để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là:
$y'=\left( {{m}^{2}}-m \right){{x}^{2}}+2\left( {{m}^{2}}-m \right)x+m\ge 0 \forall x\in \mathbb{R}$
Trường hợp 1: ${{m}^{2}}-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \left( loai \right) \\
& m=1 \left( t/m \right) \\
\end{aligned} \right.$
Trường hơp 2: ${{m}^{2}}-m\ne 0$. Khi đó điều kiện để $y'\ge 0 \forall x\in \mathbb{R}$ là:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m>0 \\
& \Delta '={{\left( {{m}^{2}}-m \right)}^{2}}-m\left( {{m}^{2}}-m \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m>0 \\
& {{m}^{2}}-2m\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 1<m\le 2$
Vậy có 2 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
$y'=\left( {{m}^{2}}-m \right){{x}^{2}}+2\left( {{m}^{2}}-m \right)x+m\ge 0 \forall x\in \mathbb{R}$
Trường hợp 1: ${{m}^{2}}-m=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \left( loai \right) \\
& m=1 \left( t/m \right) \\
\end{aligned} \right.$
Trường hơp 2: ${{m}^{2}}-m\ne 0$. Khi đó điều kiện để $y'\ge 0 \forall x\in \mathbb{R}$ là:
$\left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m>0 \\
& \Delta '={{\left( {{m}^{2}}-m \right)}^{2}}-m\left( {{m}^{2}}-m \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-m>0 \\
& {{m}^{2}}-2m\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 1<m\le 2$
Vậy có 2 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đáp án B.