Cho hàm số $y=\dfrac{\left( 2m-1 \right)x-m}{x+m}\left( m\ne 0 \right)$ có đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$. Biết rằng tồn tại duy nhất một đường...

Phương pháp:
- Tìm điểm ${{M}_{0}}\in \left( {{C}_{m}} \right)$ cố định, dự đoán ${{M}_{0}}$ là tiếp điểm.
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại ${{M}_{0}}$.
- Thử lại: Xét phương trình hoành độ giao điểm, chứng minh tiếp tuyến vừa tìm được luôn tiếp xúc với $\left( {{C}_{m}} \right)$ $\forall m\ne 0.$
- Đồng nhất hệ số tìm $a,b.$
Cách giải:
Ta có $y=\dfrac{\left( 2m-1 \right)x-m}{x+m}=\dfrac{2mx-x-m}{x+m}=\dfrac{2mx}{x+m}-1.$
$\Rightarrow \forall m\ne 0$ thì đồ thị hàm số $\left( {{C}_{m}} \right)$ luôn đi qua điểm cố định ${{M}_{0}}\left( 0;-1 \right).$ Ta dự đoán ${{M}_{0}}$ là tiếp điểm.
Khi đó ta có: Đường thẳng $y=ax+b$ là tiếp tuyến của $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại ${{M}_{0}}\left( 0;-1 \right).$
Ta có: $y'=\dfrac{2{{m}^{2}}}{{{\left( x+m \right)}^{2}}}\Rightarrow y'\left( 0 \right)=2.$
$\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến của $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại ${{M}_{0}}\left( 0;-1 \right)$ là: $y=2\left( x-0 \right)-1=2x-1.$
Thử lại: Xét phương trình hoành độ giao điểm
$\dfrac{2mx}{x+m}-1=2x-1\Leftrightarrow 2mx=2{{x}^{2}}+2mx\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=0$ (nghiệm kép).
Do đó đường thẳng $y=2x-1$ luôn tiếp xúc với $\left( {{C}_{m}} \right)$ (thỏa mãn).
Vậy $a=2,b=-1\Rightarrow a+b=1.$