Cho hàm số $y=\dfrac{\left( 2m+1 \right)x-6}{x+1}$ có đồ thị...

Cách giải :
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{\left( 2m+1 \right)x-6}{x+1}=x-1\left( x\ne -1 \right)$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \left( 2m+1 \right)x-6={{x}^{2}}-1 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+5=0\left( * \right) \\
\end{aligned}$
Để ∆ cắt ( $\left( {{C}_{m}} \right)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
$\Rightarrow \Delta ={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-20>0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 2m+1>2\sqrt{5} \\
& 2m+1>-2\sqrt{5} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>\dfrac{-2\sqrt{5}-1}{2} \\
& m<\dfrac{-2\sqrt{5}-1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
Gọi ${{x}_{A}},{{x}_{B}}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=2m+1 \\
& {{x}_{A}}{{x}_{B}}=5 \\
\end{aligned} \right.$
M là trung điểm của AB $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}=\dfrac{2m+1}{2} \\
& {{y}_{M}}=\dfrac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}=\dfrac{{{x}_{A}}-1+{{x}_{B}}-1}{2}=\dfrac{2m-1}{2} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow M\left( \dfrac{2m+1}{2};\dfrac{2m-1}{2} \right)$
Gọi $N\left( a;b \right)\in \left( C \right)$ ta có ${{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}=2\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+4a-6b+11=0$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=-4a+6b-11$.
Ta có: $\overrightarrow{OM}=\left( \dfrac{2m+1}{2};\dfrac{2m-1}{2} \right);\overrightarrow{ON}=\left( a;b \right)$
Tam giác OMN vuông cân tại O nên:
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON}=0 \\
& OM=ON \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{a\left( 2m+1 \right)}{2}+\dfrac{b\left( 2m-1 \right)}{2}=0\left( 2 \right) \\
& {{\left( \dfrac{2m+1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2m-1}{2} \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Ta có:
$\begin{aligned}
& \left( 2 \right)\Leftrightarrow 2am+2bm+a-b=0 \\
& \Leftrightarrow 2m\left( a+b \right)=-\left( a-b \right) \\
& \Leftrightarrow m=-\dfrac{a-b}{2\left( a+b \right)} \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \left( 3 \right)\Leftrightarrow 8{{m}^{2}}+2=4\left( -4a+6b-11 \right) \\
& \Leftrightarrow 8.\dfrac{{{\left( a-b \right)}^{2}}}{4{{\left( a+b \right)}^{2}}}+2=4\left( -4a+6b-11 \right) \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{-4a+6b-11-2ab}{-4a+6b-11+2ab}+1=2\left( -4a+6b-11 \right) \\
& \Leftrightarrow \dfrac{-8a+12b-22}{-4a+6b-11+2ab}=2\left( -4a+6b-11 \right) \\
\end{aligned}$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow \dfrac{-4a+6b-11}{-4a+6b-11+2ab}=-4a+6b-11 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -4a+6b-11=0 \\
& -4a+6b-11+2ab=1 \\
\end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -4a+6b-11=0 \\
& -4a+6b-11=1-2ab \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
TH1: $-4a+6b-11=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow a=b=0$ (Loại).
TH2: $-4a+6b-11=1-2ab.~$
$\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1-2ab\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a+b=1 \\
& a+b=-1 \\
\end{aligned} \right.$
+) Với $a+b=1\Rightarrow b=1-a.~$
Thay vào (1) ta có: ${{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( -a-2 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow {{\left( a+2 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a+2=1 \\
& a+2=-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=-1\Rightarrow b=2 \\
& a=-3\Rightarrow b=4 \\
\end{aligned} \right.$

$\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-\dfrac{-1-2}{2}=\dfrac{3}{2}\left( ktm \right) \\
& m=-\dfrac{-3-4}{2}=\dfrac{7}{2}\left( tm \right) \\
\end{aligned} \right.$
+) Với $a+b=-1\Rightarrow b=-1-a.~$
Thay vào (1) ta có: ${{\left( a+2 \right)}^{2}}+{{\left( -a-4 \right)}^{2}}=2$ ⇔ $~2{{a}^{2}}+12a+18=0$ $\Leftrightarrow a=-3b\Rightarrow =2.~$
$\Rightarrow m=-\dfrac{-3-1}{2\left( -1 \right)}=-\dfrac{5}{2}\left( ktm \right)$
Vậy $m=\dfrac{7}{2}\in \left( 3;4 \right).~$