Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{9}{8}{{x}^{4}}+3\left( m-3 \right){{x}^{2}}+4m+2017$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều.
A. $m=-2$
B. $m=2$
C. $m=3$
D. $m=2017$
A. $m=-2$
B. $m=2$
C. $m=3$
D. $m=2017$
Ta có $y'=\dfrac{9}{2}{{x}^{3}}+6\left( m-3 \right)x;{y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& 3{{x}^{2}}=4\left( 3-m \right)\text{ }\left( * \right) \\
\end{aligned} \right..$
Để hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow 4\left( 3-m \right)>0\Leftrightarrow m<3.$
Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
$A\left( 0;4m+2017 \right), B\left( 2\sqrt{\dfrac{3-m}{3}};4m+2017-2{{\left( 3-m \right)}^{2}} \right), C\left( -2\sqrt{\dfrac{3-m}{3}};4m+2017-2{{\left( 3-m \right)}^{2}} \right).$
Do dam giác $ABC$ cân tại $A$ nên yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}$
$\dfrac{4\left( 3-m \right)}{3}+4{{\left( 3-m \right)}^{4}}=\dfrac{16\left( 3-m \right)}{3}\Leftrightarrow {{\left( 3-m \right)}^{4}}=3-m\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3-m=0 \\
& 3-m=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3\left( loại \right) \\
& m=2\left( thoả mãn \right) \\
\end{aligned} \right..$
Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị $ab<0\Leftrightarrow m<3.$
Ycbt $\xrightarrow{{}}{{b}^{3}}=-24a\Leftrightarrow 27{{\left( m-3 \right)}^{3}}=-27\Leftrightarrow m=2.$
& x=0 \\
& 3{{x}^{2}}=4\left( 3-m \right)\text{ }\left( * \right) \\
\end{aligned} \right..$
Để hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow 4\left( 3-m \right)>0\Leftrightarrow m<3.$
Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
$A\left( 0;4m+2017 \right), B\left( 2\sqrt{\dfrac{3-m}{3}};4m+2017-2{{\left( 3-m \right)}^{2}} \right), C\left( -2\sqrt{\dfrac{3-m}{3}};4m+2017-2{{\left( 3-m \right)}^{2}} \right).$
Do dam giác $ABC$ cân tại $A$ nên yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=B{{C}^{2}}$
$\dfrac{4\left( 3-m \right)}{3}+4{{\left( 3-m \right)}^{4}}=\dfrac{16\left( 3-m \right)}{3}\Leftrightarrow {{\left( 3-m \right)}^{4}}=3-m\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 3-m=0 \\
& 3-m=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=3\left( loại \right) \\
& m=2\left( thoả mãn \right) \\
\end{aligned} \right..$
Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị $ab<0\Leftrightarrow m<3.$
Ycbt $\xrightarrow{{}}{{b}^{3}}=-24a\Leftrightarrow 27{{\left( m-3 \right)}^{3}}=-27\Leftrightarrow m=2.$
Đáp án B.