Cho hàm số $y=\dfrac{9}{8}{{x}^{4}}+3\left( m-3...

The Professor · 17/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

y = \frac{9}{8} x^{4} + 3 (m - 3) x^{2} + 4 m + 2017

với

m

là tham số thực. Tìm giá trị của

m

để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều.
A.

m = - 2

B.

m = 2

C.

m = 3

D.

m = 2017

Ta có

y^{'} = \frac{9}{2} x^{3} + 6 (m - 3) x; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 0 \\ 3 x^{2} = 4 (3 - m) (*) \end{aligned} .

Để hàm số có ba điểm cực trị

\Leftrightarrow 4 (3 - m) > 0 \Leftrightarrow m < 3.

Khi đó tọa độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

A (0; 4 m + 2017), B (2 \sqrt{\frac{3 - m}{3}}; 4 m + 2017 - 2 {(3 - m)}^{2}), C (- 2 \sqrt{\frac{3 - m}{3}}; 4 m + 2017 - 2 {(3 - m)}^{2}) .

Do dam giác

A B C

cân tại

A

nên yêu cầu bài toán

\Leftrightarrow A B^{2} = B C^{2}

\frac{4 (3 - m)}{3} + 4 {(3 - m)}^{4} = \frac{16 (3 - m)}{3} \Leftrightarrow {(3 - m)}^{4} = 3 - m \Leftrightarrow [\begin{aligned} 3 - m = 0 \\ 3 - m = 1 \end{aligned} \Leftrightarrow [\begin{aligned} m = 3 (l o ạ i) \\ m = 2 (t h o ả m ã n) \end{aligned} .

Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị

a b < 0 \Leftrightarrow m < 3.

Ycbt

\overset{}{\to} b^{3} = - 24 a \Leftrightarrow 27 {(m - 3)}^{3} = - 27 \Leftrightarrow m = 2.

Đáp án B.