Cho hàm số $y={\displaystyle \frac{4x-5}{x+1}}$ có đồ thị $\left(H\right)$. Gọi...

Vì điểm $M$ thuộc đồ thị $\left(H\right)$ nên $y_0={\displaystyle \frac{4x_0-5}{x_0+1}}$.
Từ đề bài ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x=-1$ và tiệm cận ngang là $y=4$.
Khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0)$ đến đường tiệm cận đứng bằng $|x_0+1|$.
Khoảng cách từ điểm $M(x_0;y_0)$ đến đường tiệm cận ngang bằng $|y_0-4|=|{\displaystyle \frac{4x_0-5}{x_0+1}}-4|={\displaystyle \frac{9}{|x_0+1|}}$.
Từ đó ta có $\begin{array}{rl}& |x_0+1|+{\displaystyle \frac{9}{|x_0+1|}}=6\iff {\left(|x_0+1|\right)}^2-6|x_0+1|+9=0\\ & \iff |x_0+1|=3\iff [\begin{array}{rl}& x_0=2\left(L\right)\\ & x_0=-4\left(TM\right)\end{array}\end{array}$
Do đó $M(-4;7)$. Suy ra $S=9$.