Cho hàm số $y=\dfrac{3x+m}{x-2}$ (với $m$ là tham số thực) có giá trị lớn nhất trên đoạn $\left[ -2;1 \right]$ bằng 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xét hàm số $y=\dfrac{3x+m}{x-2}$ trên đoạn $\left[ -2;1 \right]$.
Ta có ${y}'=\dfrac{-m-6}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$.
TH1: $m<-6$ $\Rightarrow {y}'>0,\forall x\in \left[ -2;1 \right]$.
Khi đó hàm số đã cho đồng biến trên đoạn $\left[ -2;1 \right]$, suy ra $\underset{\left[ -2;1 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( 1 \right)=-3-m$.
Nên $\underset{\left[ -2;1 \right]}{\mathop{\max }} y=2\Leftrightarrow -3-m=2\Leftrightarrow m=-5$ (không thỏa mãn).
TH2: $m>-6$ $\Rightarrow {y}'<0,\forall x\in \left[ -2;1 \right]$.
Khi đó hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn $\left[ -2;1 \right]$, suy ra $\underset{\left[ -2;1 \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( -2 \right)=\dfrac{6-m}{4}$.
Nên $\underset{\left[ -2;1 \right]}{\mathop{\max }} y=2\Leftrightarrow \dfrac{6-m}{4}=2\Leftrightarrow m=-2$ (thỏa mãn).
TH3: $m=-6$ $\Rightarrow y=\dfrac{3x-6}{x-2}=3,\forall x\ne 2$ $\Rightarrow \underset{\left[ -2;1 \right]}{\mathop{\max }} y=3$ $\Rightarrow m=-6$ không thỏa mãn.
Vậy $m$ cần tìm là $m=-2$.