Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{3x+4}{3x+4}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Tổng các giá trị của tham số m để đường thẳng $d:y=x+m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tam giác OAB đều (với O là gốc tọa độ) bằng
A. 6.
B. 7.
C. 4.
D. 3.
A. 6.
B. 7.
C. 4.
D. 3.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng $d:y=x+m$ và đồ thị $\left( C \right)$ là nghiệm của phương trình $\dfrac{3x+4}{3x+3}=x+m\Leftrightarrow 3x+4=\left( x+m \right)\left( 3x+3 \right)$ (điều kiện $x\ne -1$ ).
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3mx+3m-4=0$
Ta có $\Delta =9{{m}^{2}}-12\left( 3m-4 \right)=9{{\left( m-2 \right)}^{2}}+12>0,\forall m\in \mathbb{R}$.
Vậy với mọi $m\in \mathbb{R}$ thì đường thẳng $d:y=x+m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó $A\left( {{x}_{A}};{{x}_{A}}+m \right)$ và $B\left( {{x}_{B}};{{x}_{B}}+m \right)$.
Theo đị lý Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=-m \\
& {{x}_{A}}.{{x}_{B}}=\dfrac{3m-4}{3} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$.
Ta có: $OA=OB\Leftrightarrow x_{A}^{2}+{{\left( {{x}_{A}}-m \right)}^{2}}=x_{B}^{2}+{{\left( {{x}_{B}}+m \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2x_{A}^{2}+2m{{x}_{A}}+{{m}^{2}}=2x_{B}^{2}+2m{{x}_{B}}+{{m}^{2}}\Leftrightarrow 2\left( x_{A}^{2}-x_{B}^{2} \right)+2m\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)=0$
$\Leftrightarrow 2\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}}+m \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{A}}+{{x}_{B}}+m=0$ (do ${{x}_{A}}\ne {{x}_{B}}$ ) (luôn đúng theo (*)).
$AB=\sqrt{2{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}}$. Tam giác OAB đều $\Leftrightarrow \widehat{OAC}=60{}^\circ \Leftrightarrow d\left( O,AB \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| m \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{2{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=3\left[ {{\left( {{x}_{B}}+{{x}_{A}} \right)}^{2}}-4{{x}_{B}}{{x}_{A}} \right]\left( ** \right)$
Thay (*) vào (**), ta được $\Leftrightarrow {{m}^{2}}=3\left[ {{\left( -m \right)}^{2}}-4.\dfrac{3m-4}{3} \right]$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}=3{{m}^{2}}-12m+16\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-12m+16=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}_{1}}=2 \\
& {{m}_{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{m}_{1}}+{{m}_{2}}=6$.
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3mx+3m-4=0$
Ta có $\Delta =9{{m}^{2}}-12\left( 3m-4 \right)=9{{\left( m-2 \right)}^{2}}+12>0,\forall m\in \mathbb{R}$.
Vậy với mọi $m\in \mathbb{R}$ thì đường thẳng $d:y=x+m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó $A\left( {{x}_{A}};{{x}_{A}}+m \right)$ và $B\left( {{x}_{B}};{{x}_{B}}+m \right)$.
Theo đị lý Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=-m \\
& {{x}_{A}}.{{x}_{B}}=\dfrac{3m-4}{3} \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)$.
Ta có: $OA=OB\Leftrightarrow x_{A}^{2}+{{\left( {{x}_{A}}-m \right)}^{2}}=x_{B}^{2}+{{\left( {{x}_{B}}+m \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2x_{A}^{2}+2m{{x}_{A}}+{{m}^{2}}=2x_{B}^{2}+2m{{x}_{B}}+{{m}^{2}}\Leftrightarrow 2\left( x_{A}^{2}-x_{B}^{2} \right)+2m\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)=0$
$\Leftrightarrow 2\left( {{x}_{A}}-{{x}_{B}} \right)\left( {{x}_{A}}+{{x}_{B}}+m \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{A}}+{{x}_{B}}+m=0$ (do ${{x}_{A}}\ne {{x}_{B}}$ ) (luôn đúng theo (*)).
$AB=\sqrt{2{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}}$. Tam giác OAB đều $\Leftrightarrow \widehat{OAC}=60{}^\circ \Leftrightarrow d\left( O,AB \right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB$
$\Leftrightarrow \dfrac{\left| m \right|}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{2{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}}\Leftrightarrow {{m}^{2}}=3\left[ {{\left( {{x}_{B}}+{{x}_{A}} \right)}^{2}}-4{{x}_{B}}{{x}_{A}} \right]\left( ** \right)$
Thay (*) vào (**), ta được $\Leftrightarrow {{m}^{2}}=3\left[ {{\left( -m \right)}^{2}}-4.\dfrac{3m-4}{3} \right]$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}=3{{m}^{2}}-12m+16\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-12m+16=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{m}_{1}}=2 \\
& {{m}_{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{m}_{1}}+{{m}_{2}}=6$.
Đáp án A.