Cho hàm số $y={\displaystyle \frac{3x-2}{x}}$ có đồ thị $\left(C\right)$. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng cắt $\left(C\right)$ tại hai điểm phân biệt mà...

Phương pháp giải:
- Tìm số điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{3x-2}{x}}$, giả sử là n.
- Số đường thẳng thỏa mãn là số đường thẳng đi qua 2 trong n điểm trên, tức là $C_n^2$ đường thẳng.
Giải chi tiết:
Để đường thẳng cắt $\left(C\right)$ tại 2 điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên thì điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên phải thuộc đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{3x-2}{x}}$.
Ta có: $y={\displaystyle \frac{3x-2}{x}}=3-{\displaystyle \frac{2}{x}}(x\ne 0)$.
Để $y\in \mathbb{Z}\Rightarrow {\displaystyle \frac{2}{x}}\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \{\pm 1;\pm 2\}$.
Khi đó các điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên thuộc đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{3x-2}{x}}$ là $A(1;1);B(-1;5);C=(2;2);D(-2;4)$.
Vậy có $C_4^2=6$ đường thẳng thỏa mãn.