Cho hàm số $y=\dfrac{2x}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và...

Do điểm $J\in \left( C \right)$ $\Rightarrow J\left( a; \dfrac{2a}{a-1} \right); a\ne 1$
Đồ thị $\left( C \right)$ có đường tiệm cận ngang là ${{\Delta }_{1}}: y=2$, đường tiệm cận đứng là ${{\Delta }_{2}}: x=1$ $\Rightarrow $ $JT$, $JV$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $J$ tới đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị $\left( C \right).$
Ta có: $JT=d\left( J; {{\Delta }_{2}} \right)=\dfrac{\left| a-1 \right|}{1}=\left| a-1 \right|$
$JV=d\left( J; \Delta {}_{1} \right)=\dfrac{\left| \dfrac{2\text{a}}{a-1}-2 \right|}{1}=\left| \dfrac{2}{a-1} \right|=\dfrac{2}{\left| a-1 \right|}$
Chu vi của hình chữ nhật $ITJV$ là: $2\left( JT+JV \right)=2\left( \left| a-1 \right|+\dfrac{2}{\left| a-1 \right|} \right)$
Với $\forall a\ne 1,$ ta có: $\left| a-1 \right|+\dfrac{2}{\left| a-1 \right|}\ge 2\sqrt{\left| a-1 \right|.\dfrac{2}{\left| a-1 \right|}}=2\sqrt{2}.$
Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow \left| a-1 \right|=\dfrac{2}{\left| a-1 \right|}\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=1+\sqrt{2} \\
& a=1-\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Vậy hình chữ nhật $ITJV$ có chu vi nhỏ nhất bằng $4\sqrt{2}.$