Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{2x}{x+1}$ có đồ thị (C) và điểm A(0; a). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của a để từ A kẻ được hai tiếp tuyến AM, AN đến C với M, N là các tiếp điểm và MN = 4. Tổng các phần tử của S bằng
A. 4
B. 3
C. 6
D. 1
A. 4
B. 3
C. 6
D. 1
Tập xác định $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}, {y}'=\dfrac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}$
Phương trình đường thẳng qua $A\left( 0; a \right)$ có hệ số góc k là $y=kx+a\left( d \right)$
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{2x}{x+1}=kx+a\left( 1 \right) \\
& \dfrac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=k\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
Thay (2) và (1) ta được $\dfrac{2x}{x+1}=\dfrac{2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+a\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ne -1 \\
& \left( a-2 \right){{x}^{2}}+2ax+a=0\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để qua A kẻ được 2 tiếp tuyến thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -1
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-2\ne 0 \\
& \Delta ={{a}^{2}}-a\left( a-2 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ne 2 \\
& a>0 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi ${{x}_{M}}; {{x}_{N}}$ là nghiệm phương trình (*).
Giả sử $M\left( {{x}_{M}}; \dfrac{2{{x}_{M}}}{{{x}_{M}}+1} \right); N\left( {{x}_{N}}; \dfrac{2{{x}_{N}}}{{{x}_{N}}+1} \right)$
Theo giả thuyết $MN=4\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{M}}-{{x}_{N}} \right)}^{2}}+4{{\left( \dfrac{1}{{{x}_{M}}+1}-\dfrac{1}{{{x}_{N}}+1} \right)}^{2}}=16$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{M}}-{{x}_{N}} \right)}^{2}}+4{{\left[ \dfrac{{{x}_{M}}-{{x}_{N}}}{\left( {{x}_{M}}+1 \right)\left( {{x}_{N}}+1 \right)} \right]}^{2}}=16$
Theo hệ thức Viet ta có $\dfrac{8a}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}}+8a=16\Leftrightarrow {{a}^{3}}-6{{a}^{2}}+13a-8=0\Leftrightarrow a=1$
Vậy tổng các giá trị thực là 1.
Phương trình đường thẳng qua $A\left( 0; a \right)$ có hệ số góc k là $y=kx+a\left( d \right)$
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{2x}{x+1}=kx+a\left( 1 \right) \\
& \dfrac{2}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=k\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$ có nghiệm.
Thay (2) và (1) ta được $\dfrac{2x}{x+1}=\dfrac{2x}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+a\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ne -1 \\
& \left( a-2 \right){{x}^{2}}+2ax+a=0\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$
Để qua A kẻ được 2 tiếp tuyến thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -1
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a-2\ne 0 \\
& \Delta ={{a}^{2}}-a\left( a-2 \right)>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a\ne 2 \\
& a>0 \\
\end{aligned} \right.$
Gọi ${{x}_{M}}; {{x}_{N}}$ là nghiệm phương trình (*).
Giả sử $M\left( {{x}_{M}}; \dfrac{2{{x}_{M}}}{{{x}_{M}}+1} \right); N\left( {{x}_{N}}; \dfrac{2{{x}_{N}}}{{{x}_{N}}+1} \right)$
Theo giả thuyết $MN=4\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{M}}-{{x}_{N}} \right)}^{2}}+4{{\left( \dfrac{1}{{{x}_{M}}+1}-\dfrac{1}{{{x}_{N}}+1} \right)}^{2}}=16$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{M}}-{{x}_{N}} \right)}^{2}}+4{{\left[ \dfrac{{{x}_{M}}-{{x}_{N}}}{\left( {{x}_{M}}+1 \right)\left( {{x}_{N}}+1 \right)} \right]}^{2}}=16$
Theo hệ thức Viet ta có $\dfrac{8a}{{{\left( a-2 \right)}^{2}}}+8a=16\Leftrightarrow {{a}^{3}}-6{{a}^{2}}+13a-8=0\Leftrightarrow a=1$
Vậy tổng các giá trị thực là 1.
Đáp án D.