Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{2x-2}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ (với ${{x}_{0}}>1$ ) là điểm thuộc $\left( C \right),$ biết tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho ${{S}_{\Delta OIB}}=8{{S}_{\Delta OIA}}$ (trong đó $O$ là gốc toạ độ, $I$ là giao điểm hai tiệm cận). Giá trị của $S={{x}_{0}}+4{{y}_{0}}$ là
A. $S=8.$
B. $S=\dfrac{17}{4}.$
C. $S=\dfrac{23}{4}.$
D. $S=2.$
Ta có ${y}'=\dfrac{-2}{{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}},\text{TC}: x=1 \left( {{d}_{1}} \right), \text{TCN:} y=1 \left( {{d}_{2}} \right), I\left( 1;1 \right).$
Phương trình tiếp tuyến $\Delta $ tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ có dạng
$y=\dfrac{-2}{{{\left( 2{{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{2{{x}_{0}}-1}{2{{x}_{0}}-2}$
$A=\Delta \cap {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 1;\dfrac{{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1} \right), B=\Delta \cap {{d}_{2}}$
$\Rightarrow B\left( 2{{x}_{0}}-1;1 \right), \overrightarrow{IB}=\left( 2{{x}_{0}}-2;0 \right), \overrightarrow{IA}=\left( 0;\dfrac{1}{{{x}_{0}}-1} \right)$
${{S}_{\Delta OIB}}=8{{S}_{\Delta OIA}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.IB=8.\dfrac{1}{2}.1.IA\Leftrightarrow IB=8IA$
$\Leftrightarrow \left| 2{{x}_{0}}-2 \right|=8\left| \dfrac{1}{{{x}_{0}}-1} \right|\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=3$ (do ${{x}_{0}}>1)\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow S={{x}_{0}}+4{{y}_{0}}=3+4.\dfrac{5}{4}=8.$
Cách khác: (Vì $\widehat{OIA}=\widehat{OIB}).$ Ta có
${{S}_{\Delta OIB}}=8{{S}_{\Delta OIA}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}OI.IB.\sin \widehat{OIB}=8\dfrac{1}{2}OI.IA.\sin \widehat{OIA}\Leftrightarrow IB=8IA\Leftrightarrow \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{1}{8}.$
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$ là $\left| k \right|=\dfrac{1}{8}$
$\Rightarrow {y}'=\dfrac{-2}{{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}}=-\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3\Rightarrow y=\dfrac{5}{4} \\
& x=-1\Rightarrow y=\dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Với ${{x}_{0}}=3,{{y}_{0}}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow S={{x}_{0}}+4{{y}_{0}}=3+5=8.$
A. $S=8.$
B. $S=\dfrac{17}{4}.$
C. $S=\dfrac{23}{4}.$
D. $S=2.$
Ta có ${y}'=\dfrac{-2}{{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}},\text{TC}: x=1 \left( {{d}_{1}} \right), \text{TCN:} y=1 \left( {{d}_{2}} \right), I\left( 1;1 \right).$
Phương trình tiếp tuyến $\Delta $ tại điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ có dạng
$y=\dfrac{-2}{{{\left( 2{{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{2{{x}_{0}}-1}{2{{x}_{0}}-2}$
$A=\Delta \cap {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 1;\dfrac{{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1} \right), B=\Delta \cap {{d}_{2}}$
$\Rightarrow B\left( 2{{x}_{0}}-1;1 \right), \overrightarrow{IB}=\left( 2{{x}_{0}}-2;0 \right), \overrightarrow{IA}=\left( 0;\dfrac{1}{{{x}_{0}}-1} \right)$
${{S}_{\Delta OIB}}=8{{S}_{\Delta OIA}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.IB=8.\dfrac{1}{2}.1.IA\Leftrightarrow IB=8IA$
$\Leftrightarrow \left| 2{{x}_{0}}-2 \right|=8\left| \dfrac{1}{{{x}_{0}}-1} \right|\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=3$ (do ${{x}_{0}}>1)\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow S={{x}_{0}}+4{{y}_{0}}=3+4.\dfrac{5}{4}=8.$
Cách khác: (Vì $\widehat{OIA}=\widehat{OIB}).$ Ta có
${{S}_{\Delta OIB}}=8{{S}_{\Delta OIA}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}OI.IB.\sin \widehat{OIB}=8\dfrac{1}{2}OI.IA.\sin \widehat{OIA}\Leftrightarrow IB=8IA\Leftrightarrow \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{1}{8}.$
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại $M$ là $\left| k \right|=\dfrac{1}{8}$
$\Rightarrow {y}'=\dfrac{-2}{{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}}=-\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3\Rightarrow y=\dfrac{5}{4} \\
& x=-1\Rightarrow y=\dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Với ${{x}_{0}}=3,{{y}_{0}}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow S={{x}_{0}}+4{{y}_{0}}=3+5=8.$
Đáp án A.