Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{2x-2}$ có đồ thị $\left(C \right)$. Gọi $M\left(a; b \right)$ với $a>1$ là điểm thuộc $\left(C \right)$. Biết tiếp...

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=1$
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng $y=1$
${y}'=\dfrac{-2}{{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}} , \forall x\ne 1$
Phương trình tiếp tuyến với $(C)$ tại $M\left( a; b \right)$ với $a>1$ có dạng:
$y=\dfrac{-2}{{{\left( 2a-2 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)+\dfrac{2a-1}{2a-2}$
Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& y=\dfrac{-2}{{{\left( 2a-2 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)+\dfrac{2a-1}{2a-2} \\
& x=1 \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow A\left( 1; \dfrac{a}{a-1} \right)$
Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& y=\dfrac{-2}{{{\left( 2a-2 \right)}^{2}}}\left( x-a \right)+\dfrac{2a-1}{2a-2} \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right. \Rightarrow B\left( 2a-1; 1 \right)$
Diện tích $\Delta IOB$ là ${{S}_{\Delta IOB}}=\dfrac{1}{2}IB.IO.\sin \widehat{BIO}$
Diện tích $\Delta IOA$ là ${{S}_{\Delta IOB}}=\dfrac{1}{2}IA.IO.\sin \widehat{AIO}$
Khi đó:
${{S}_{OIB}}=8{{S}_{OIA}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}IB.IO.\sin \widehat{BIO}=8.\dfrac{1}{2}IA.IO.\sin \widehat{AIO}$ (do $\widehat{BIO}=\widehat{AIO}$ )
$\Leftrightarrow IB=8IA$
$\Leftrightarrow I{{B}^{2}}=64I{{A}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left( 2a-2 \right)}^{2}}+{{\left( 1-1 \right)}^{2}}=64\left[ {{\left( 1-1 \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{a-1}-1 \right)}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow {{\left( 2a-2 \right)}^{2}}=\dfrac{64}{{{\left( a-1 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{4}}=16\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a-1=2 \\
& a-1=-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& a=3 \\
& a=-1\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $M\left( 3; \dfrac{5}{4} \right)$, suy ra $S=a+4b=3+4.\dfrac{5}{4}=8$.