Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{2x-2}$ có đồ thị (C). Gọi $M\left( {{x}_{0}}; {{y}_{0}} \right)$ (với ${{x}_{0}}>1$ ) là điểm thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B sao cho ${{S}_{\Delta OIB}}=8{{S}_{\Delta OIA}}$ (trong đó O là gốc tọa độ, I là giao điểm hai tiệm cận). Tính giá trị của $S={{x}_{0}}+4{{y}_{0}}$
A. $S=8$
B. $S=\dfrac{17}{4}$
C. $S=\dfrac{23}{4}$
D. $S=2$
Cách 1:
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
Ta có ${y}'=\dfrac{-2}{{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}}$ ; TCĐ là ${{d}_{1}}:x=1$ ; TCN là ${{d}_{2}}:y=1$ ; điểm $I\left( 1; 1 \right)$.
Phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm $M\left( {{x}_{0}}; {{y}_{0}} \right)$ có dạng
$y=\dfrac{-2}{{{\left( 2{{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{2{{x}_{0}}-1}{2{{x}_{0}}-2}$
Ta có $A=\Delta \cap {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 1; \dfrac{{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1} \right); B=\Delta \cap {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2{{x}_{0}}-1; 1 \right)$
Suy ra $\overrightarrow{IB}=\left( 2{{x}_{0}}-2; 0 \right), \overrightarrow{IA}=\left( 0; \dfrac{1}{{{x}_{0}}-1} \right)$
Để ${{S}_{\Delta OIB}}=8{{S}_{\Delta OIA}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.IB=8.\dfrac{1}{2}.1.IA\Leftrightarrow IB=8IA\Leftrightarrow \left| 2{{x}_{0}}-2 \right|=8\left| \dfrac{1}{{{x}_{0}}-1} \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=3$ (do ${{x}_{0}}>1$ ) $\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow S={{x}_{0}}+4{{y}_{0}}=3+4.\dfrac{5}{4}=8$
Cách 2: (Vì $\widehat{OIA}=\widehat{OIB}$ )
Ta có ${{S}_{\Delta OIB}}=8{{S}_{\Delta OIA}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}OI.IB.\sin OIB=8\dfrac{1}{8}OI.IA.\sin OIA\Leftrightarrow IB=8IA\Leftrightarrow \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{1}{8}$
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
$k=-\tan \widehat{ABI}=-\dfrac{IA}{IB}=-\dfrac{1}{8}\Rightarrow {y}'\left( {{x}_{0}} \right)=\dfrac{-2}{2{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}=-\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=3\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{5}{4} \\
& {{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Do ${{x}_{0}}>1$ nên ${{x}_{0}}=3; {{y}_{0}}=\dfrac{5}{4}$. Vậy $S={{x}_{0}}+4{{y}_{0}}=3+5=8$
A. $S=8$
B. $S=\dfrac{17}{4}$
C. $S=\dfrac{23}{4}$
D. $S=2$
Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
Ta có ${y}'=\dfrac{-2}{{{\left( 2x-2 \right)}^{2}}}$ ; TCĐ là ${{d}_{1}}:x=1$ ; TCN là ${{d}_{2}}:y=1$ ; điểm $I\left( 1; 1 \right)$.
Phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm $M\left( {{x}_{0}}; {{y}_{0}} \right)$ có dạng
$y=\dfrac{-2}{{{\left( 2{{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+\dfrac{2{{x}_{0}}-1}{2{{x}_{0}}-2}$
Ta có $A=\Delta \cap {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( 1; \dfrac{{{x}_{0}}}{{{x}_{0}}-1} \right); B=\Delta \cap {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2{{x}_{0}}-1; 1 \right)$
Suy ra $\overrightarrow{IB}=\left( 2{{x}_{0}}-2; 0 \right), \overrightarrow{IA}=\left( 0; \dfrac{1}{{{x}_{0}}-1} \right)$
Để ${{S}_{\Delta OIB}}=8{{S}_{\Delta OIA}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.1.IB=8.\dfrac{1}{2}.1.IA\Leftrightarrow IB=8IA\Leftrightarrow \left| 2{{x}_{0}}-2 \right|=8\left| \dfrac{1}{{{x}_{0}}-1} \right|$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow {{x}_{0}}=3$ (do ${{x}_{0}}>1$ ) $\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow S={{x}_{0}}+4{{y}_{0}}=3+4.\dfrac{5}{4}=8$
Cách 2: (Vì $\widehat{OIA}=\widehat{OIB}$ )
Ta có ${{S}_{\Delta OIB}}=8{{S}_{\Delta OIA}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}OI.IB.\sin OIB=8\dfrac{1}{8}OI.IA.\sin OIA\Leftrightarrow IB=8IA\Leftrightarrow \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{1}{8}$
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
$k=-\tan \widehat{ABI}=-\dfrac{IA}{IB}=-\dfrac{1}{8}\Rightarrow {y}'\left( {{x}_{0}} \right)=\dfrac{-2}{2{{\left( {{x}_{0}}-2 \right)}^{2}}}=-\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=3\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{5}{4} \\
& {{x}_{0}}=-1\Rightarrow {{y}_{0}}=\dfrac{3}{4} \\
\end{aligned} \right.$
Do ${{x}_{0}}>1$ nên ${{x}_{0}}=3; {{y}_{0}}=\dfrac{5}{4}$. Vậy $S={{x}_{0}}+4{{y}_{0}}=3+5=8$
Đáp án A.