Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{{{2}^{x+1}}+1}{{{2}^{x}}-m},$ tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)$ là
A. $-\dfrac{1}{2}<m\le \dfrac{1}{2}$ hoặc $m\ge 2.$
B. $m\le \dfrac{1}{2}$ hoặc $m\ge 2.$
C. $-\dfrac{1}{2}<m<\dfrac{1}{2}$ hoặc $m>2.$
D. $m>-\dfrac{1}{2}.$
A. $-\dfrac{1}{2}<m\le \dfrac{1}{2}$ hoặc $m\ge 2.$
B. $m\le \dfrac{1}{2}$ hoặc $m\ge 2.$
C. $-\dfrac{1}{2}<m<\dfrac{1}{2}$ hoặc $m>2.$
D. $m>-\dfrac{1}{2}.$
$y=f\left( x \right)=\dfrac{{{2}^{x+1}}+1}{{{2}^{x}}-m}$, đặt $t={{2}^{x}},x\in \left( -1;1 \right)\Rightarrow t\in \left( \dfrac{1}{2};2 \right).$
f(x) trở thành $g\left( t \right)=\dfrac{2t+1}{t-m},{g}'\left( t \right)=\dfrac{-2m-1}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}.$
f(x) nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)\Leftrightarrow g\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( \dfrac{1}{2};2 \right)$ ( vì $t\left( x \right)={{2}^{x}}$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$ ).
$\Leftrightarrow {g}'\left( t \right)<0,\forall t\in \left( \dfrac{1}{2};2 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2m-1<0 \\
& m\notin \left( \dfrac{1}{2};2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}<m\le \dfrac{1}{2}\vee m\ge 2$
f(x) trở thành $g\left( t \right)=\dfrac{2t+1}{t-m},{g}'\left( t \right)=\dfrac{-2m-1}{{{\left( t-m \right)}^{2}}}.$
f(x) nghịch biến trên $\left( -1;1 \right)\Leftrightarrow g\left( t \right)$ nghịch biến trên $\left( \dfrac{1}{2};2 \right)$ ( vì $t\left( x \right)={{2}^{x}}$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$ ).
$\Leftrightarrow {g}'\left( t \right)<0,\forall t\in \left( \dfrac{1}{2};2 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -2m-1<0 \\
& m\notin \left( \dfrac{1}{2};2 \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}<m\le \dfrac{1}{2}\vee m\ge 2$
Đáp án A.