Cho hàm số $y={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3-2m{x}^2-m+2.$ Có bao nhiêu...

Cách 1. Xét $y^{\prime }=0\iff 2x^2-4mx=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=2m\end{array}.$
Trường hợp 1: $2m\le 1\iff m\le {\displaystyle \frac{1}{2}}.$ Khi đó $\underset{x\in [1;3]}{max}y=y\left(3\right)=20-19m=6\iff m={\displaystyle \frac{14}{19}}$ (loại)
• Trường hợp 2: $1<2m<3\iff {\displaystyle \frac{1}{2}}<m<{\displaystyle \frac{3}{2}}.$ Khi đó $\underset{x\in [1;3]}{max}y=y\left(1\right)$ hoặc $\underset{x\in [1;3]}{max}y=y\left(3\right)$
+) $y\left(1\right)=6\iff m=-{\displaystyle \frac{10}{9}}$ (loại)
+) $y\left(3\right)=6\iff m={\displaystyle \frac{14}{19}},$ khi đó $y\left(1\right)={\displaystyle \frac{26}{57}}$ (thỏa mãn).
• Trường hợp 3: $2m\ge 3\iff m\ge {\displaystyle \frac{3}{2}}.$ Khi đó $\underset{x\in [1;3]}{max}y=y\left(1\right)=-3m+{\displaystyle \frac{8}{3}}=6\iff m=-{\displaystyle \frac{10}{9}}$ (loại).
Cách 2. Giá trị lớn nhất của hàm số chỉ đạt tại $f\left(1\right),f\left(3\right),f\left(2m\right)$ (vì $0\notin (1;3)$ ).
Biện luận sẽ thấy $f\left(2m\right)$ không thể lớn nhất, từ đó chỉ so sánh $f\left(1\right)$ và $f\left(3\right).$
Giả sử $\underset{x\in [1;3]}{max}f\left(x\right)=f\left(1\right)=6$ tìm ra m thay vào $f\left(1\right),f\left(3\right),f\left(2m\right)$ (vì $0\notin (1;3)$
Biện luận sẽ thấy $f\left(2m\right)$ không thể lớn nhất, từ đó chỉ so sánh $f\left(1\right)$ và $f\left(3\right).$
Giả sử $\underset{x\in [1;3]}{max}f\left(x\right)=f\left(1\right)=6$ tìm ra m thay vào $f\left(3\right)$ xem có lớn hơn không, tương tự làm với $f\left(3\right).$