Google
Câu hỏi: Cho hàm số $y=\dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu điểm A thuộc đồ thị $\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại A cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right)$ ; $N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ (M, N khác A) thỏa mãn ${{y}_{1}}-{{y}_{2}}=3\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)$ ?
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
A. 0.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Phương trình đường thẳng MN có dạng $\dfrac{x-{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=\dfrac{y-{{y}_{2}}}{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}\Rightarrow $ hệ số góc của đường thẳng MN là $k=\dfrac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}=3$. Vậy tiếp tuyến tại $A\left( {{x}_{0}};\dfrac{1}{8}x_{0}^{4}-\dfrac{7}{4}x_{0}^{2} \right)$ có hệ số góc $k=3\Leftrightarrow {f}'\left( {{x}_{0}} \right)=3\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x_{0}^{3}-\dfrac{7}{2}{{x}_{0}}=3\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}x_{0}^{3}-\dfrac{7}{2}{{x}_{0}}-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=-1 \\
& {{x}_{0}}=3 \\
& {{x}_{0}}=-2 \\
\end{aligned} \right.$
+) Với ${{x}_{0}}=-1\Rightarrow A\left( -1;-\dfrac{13}{8} \right)\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y=3x+\dfrac{11}{8}$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}=3x+\dfrac{11}{8}\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}-3x-\dfrac{11}{8}=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1+\sqrt{3} \\
& x=1-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A\left( -1;-\dfrac{13}{8} \right)$ thỏa mãn đề bài.
+) Với ${{x}_{0}}=3\Rightarrow A\left( 3;-\dfrac{171}{8} \right)\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y=3x-\dfrac{195}{8}$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}=3x-\dfrac{195}{8}\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}-3x+\dfrac{195}{8}=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+6x+13 \right)=0\Leftrightarrow x=3\Rightarrow $ Tiếp tuyến cắt đồ thị tại một điểm.
$\Rightarrow A\left( 3;-\dfrac{171}{8} \right)$ Không thỏa mãn.
+) Với ${{x}_{0}}=-2\Rightarrow A\left( -2;-5 \right)\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y=3x+1$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}=3x+1\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}-3x-1=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=2+\sqrt{6} \\
& x=2-\sqrt{6} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A\left( -2;-5 \right)$ Thỏa mãn đề bài.
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chú ý.
Hàm trùng phương $y=\dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}$ có đồ thị dạng chữ W nên khu vực vẽ được tiếp tuyến có hệ số góc dương cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khác tiếp điểm là từ điểm cực tiểu bên trái trục Oy đến điểm cực đại nghĩa là $-\sqrt{7}<{{x}_{0}}<0$ nên chọn nhanh được ${{x}_{0}}=-2,-1$.
& {{x}_{0}}=-1 \\
& {{x}_{0}}=3 \\
& {{x}_{0}}=-2 \\
\end{aligned} \right.$
+) Với ${{x}_{0}}=-1\Rightarrow A\left( -1;-\dfrac{13}{8} \right)\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y=3x+\dfrac{11}{8}$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}=3x+\dfrac{11}{8}\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}-3x-\dfrac{11}{8}=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1+\sqrt{3} \\
& x=1-\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A\left( -1;-\dfrac{13}{8} \right)$ thỏa mãn đề bài.
+) Với ${{x}_{0}}=3\Rightarrow A\left( 3;-\dfrac{171}{8} \right)\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y=3x-\dfrac{195}{8}$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}=3x-\dfrac{195}{8}\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}-3x+\dfrac{195}{8}=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+6x+13 \right)=0\Leftrightarrow x=3\Rightarrow $ Tiếp tuyến cắt đồ thị tại một điểm.
$\Rightarrow A\left( 3;-\dfrac{171}{8} \right)$ Không thỏa mãn.
+) Với ${{x}_{0}}=-2\Rightarrow A\left( -2;-5 \right)\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến $y=3x+1$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}=3x+1\Leftrightarrow \dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}-3x-1=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}-4x-2 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-2 \\
& x=2+\sqrt{6} \\
& x=2-\sqrt{6} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A\left( -2;-5 \right)$ Thỏa mãn đề bài.
Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chú ý.
Hàm trùng phương $y=\dfrac{1}{8}{{x}^{4}}-\dfrac{7}{4}{{x}^{2}}$ có đồ thị dạng chữ W nên khu vực vẽ được tiếp tuyến có hệ số góc dương cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khác tiếp điểm là từ điểm cực tiểu bên trái trục Oy đến điểm cực đại nghĩa là $-\sqrt{7}<{{x}_{0}}<0$ nên chọn nhanh được ${{x}_{0}}=-2,-1$.
Đáp án B.